第4章 连续系统的复频域分析
4. 尺度变换
若 f (t) F (s), Re[ s] 0, 则
f (at) 1 F s
式中，a 为
a0a a
常5数. ，时域卷积
若
f1(t) F1(s)
f2 (t) F2 (s)
则
f1(t) f2 (t) F1(s)F2 (s)
第4章 连续系统的复频域分析
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.3 常用信号的单边拉普拉斯变换
1. 单位阶跃函数
单位阶跃信号 f (t) u(t) 的拉普拉斯变换为
L[u(t)]
est dt
e st
1
0sຫໍສະໝຸດ s0即u(t) 1
s
第4章 连续系统的复频域分析 2. 指数函数
指数信号 f (t) eatu(t) 的拉普拉斯变换为
2]
A0 (s)(s
B(s)
j )(s
j)
共轭复数极点有关部分的反变换以 fC (t) 表示，则
fC (t)
L 1
K1
s
j
K2
s
j
eat (K1e jt
K1*e jt )
2eat [R cos(t) I sin(t)]
第4章 连续系统的复频域分析
3. A(s) 0 的根为重根
当取 0 时， s j ，则拉普拉斯变换就变为傅里叶变换。从这一
点，拉普拉斯变换又称为广义傅里叶变换，而傅里叶变换是拉普拉 斯变换的一个特例。
第4章 连续系统的复频域分析
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域
当函数 f (t) 乘以收敛因子 et 后，就有可能满足绝对可积条件。然而，是否一定满足， 还要看 f (t) 的性质与 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数 f (t) ，通常并不是所
f (t)et F 1[F( j)] 1 F( j)e jtd
2
(4.1-6)
将上式两边乘以 et ，得到
f (t) 1
F (
j)e( j)t d
2
(4.1-7)
因为 s j ，则 ds jd ，当 时， s j ，于是：
f (t) 1 j F(s)est ds
若 f1(t) F1(s) f2 (t) F2 (s)
则 a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
第4章 连续系统的复频域分析 2. 时移性
若 则
f (t) F(s) f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
3. 复频移
若 则
f (t) F(s)
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
即
eat u(t) 1
sa
( a)
第4章 连续系统的复频域分析
3. 幂函数 tnu(t) （ n 是正整数）
特别是，当 n 1 时
t nu(t )
n! sn1
而 n 2时
L[tu(t)]
1 s2
L[t2u(t)] 2 s3
过程中，函数 f (t) 不趋于零所致。
为了使所求的函数 f (t) 满足绝对可积的变换条件，如果我们用一个实指数函数 et 去乘函数 f (t) ，
这样只要 的数值选择的足够大，就可以解决函数 f (t)et 的绝对可积问题，通常 et 称为收敛因子。
第4章 连续系统的复频域分析
设有信号f(t)e-σt(σ为实数)，并且能选择适当的σ使 f(t)e-σt绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。 若用F(σ+jω) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义， 则有
4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
由第三章傅立叶变换可知，当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时，可以构成一对傅里叶变换，
F() f (t)e jt dt
（4.1-1）
f (t) 1 F()e jtd
2
（4.1-2）
在实际应用中，有些函数 f (t) 不能满足绝对可积的条件，那是由于当时间 t 或 t 的
K1k
(s
p1)k 1
B0 (s) A0 (s)
(s
p1 )k
1
d i1
K1i (i 1)! dsi1 F0 (s)
s p1
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4.3.2 围线积分法
已知拉普拉斯反变换式为
f (t) 1 j F (s)est ds
2πj j
(t 0)
(4.3-18)
根据复变函数理论中的留数定理可知，若函数 f (z) 在区域 D 内除有限
第4章 连续系统的复频域分析
第4章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯逆变换 4.4 连续系统的复频域分析 4.5 系统的零极点分布与系统特性 4.6 系统的因果性与稳定性 4.7 线性系统的S域模拟
第4章 连续系统的复频域分析 4.1 拉普拉斯变换
式中，系数 ai 和 bi 都为实数， m 和 n 是正整数
如果分子多项式 B(s) 的阶次低于分母多项式 A(s) 的阶次，即 m n ，则为真分式。
若 m n ，则可用长除法将 F(s) 化成多项式与真分式之和。即
B(s) F(s) A(s) B0 B0s
Bmn smn
B0 (s) A(s)
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4.2 拉普拉斯变换的性质
1. 线性
设任意两个信号 f1(t) 和 f2 (t) ，其拉普拉斯变换分别为 F1(s) 和 F2 (s) ，若 a1 和 a2 是两个任意常数，则 a1 f1(t) 和 a2 f2 (t) 之和的拉普拉斯变换为 a1F1(s) 和 a2F2 (s) 之 和。可以表示为
斯变换存在，在收敛域外，函数的拉普拉斯变换不存在。
对于有始信号 f (t) ，若存在下列关系
lim f (t)et 0
t
0
(4.1-12)
则称 0 为收敛条件，并且根据 0 值可将 s 平面划分为两个区域，如图 4.1-1 所示。通过 0 的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴， 0 称为收敛坐标。凡满足式（4.1-12）的函数 称为“指数阶函数”，就是说此类函数 f (t) 若具有发散特性可借助于指数函数的衰减，使之 成为收敛函数。因此，它们的收敛域都位于收敛轴的右侧。
n
L1[F(s)] ri i 1
若 pi 为一阶极点，则
ri [(s pi )F (s)est ] |s pi
若 pi 为 k 阶极点，则
ri
(k
1 d k 1
1)!
ds
k
1
(s
pi )k
F (s)est
s pi
(4.3-21) (4.3-22)
d nF(s) dsn
(t)n
f
(t)
若 则
f (t) F(s)
F()d
f (t)
s
t
第4章 连续系统的复频域分析 10. 初值和终值定理 (1) 初值定理
若 f (t) F(s) ，且 lim sF (s) 存在，则 f (t) 的初值为 s
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
有的 值都能使 f (t)et 为有限值，即并不是对所有的 值 f (t) 都存在拉普拉斯变换，而只
有在 值的一定范围内， f (t)et 是收敛的， f (t) 存在拉普拉斯变换。通常把使 f (t)et 满足 绝对可积条件的 值的范围称为拉普拉斯变换的收敛域。在收敛域内，函数 f (t) 的拉普拉
2 j j
(4.1-8)
第4章 连续系统的复频域分析
傅里叶变换和拉普拉斯变换的主要差别在于：傅里叶变换是将时域 函数 f (t) 变换为频域函数 F() ，或作相反变换，时域中的变量 t 和频 域中的变量 都是实数；而拉普拉斯变换是将时域函数 f (t) 变换为 复变函数 F(s) ，或作相反变换，时域变量 t 虽是实数，但 F(s) 的变 量 s 却是复数。与 相比较，变量 s 可称为“复频率”， F(s) 可看成 是 f (t) 的复频谱。概括地说，傅里叶变换建立了时域和频域（ 域） 间的联系，而拉普拉斯变换则建立了时域和复频域（ s 域）间的联系，
个奇点外处处解析， C 为 D 内包围诸多奇点的一条正向简单封闭曲线，则 有
C f (z)dz 2 jRe s f (z), zi
现在以 F(s)est 作为封闭曲线积分的被积函数，则有
1
2 j
n
F(s)est ds
C
Re spi
i 1
(4.3-19)
其中 F(s)est 为被积函数， C 为闭合曲线， pi 为 C 内的被积函数的极点。
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4. 单位冲激函数
根据单位冲击函数 (t) 的定义及其抽样性
L[ (t)]
(t)est dt
1
0
即
(t) 1
如果冲激出现在 t t0 时刻（ t0 0 ），有
L[ (t t0 )]
0
(t
t0 )est dt
e st0
第4章 连续系统的复频域分析
2 j ACBA
2 j 0 j
2 j ACB
如果在补充的路径 ACB 上能满足
F(s)estds 0 ACB
则式(4.3-19)积分式等于围线中被积函数 F(s)est 所有极点的留数之和，可表示为
L1[F(s)] [F(s)est的留数] 极点
第4章 连续系统的复频域分析
如果在极点 s pi 处的留数为 ri ，并设 F(s)est 在围线中共有 n 个极点，则