平行线的性质及其应用考点·方法·破译１.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系; 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用．经典·考题·赏析【例１】如图,四边形AB ＣD 中，ＡＢ∥C Ｄ, ＢC ∥A Ｄ，∠Ａ【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥ＣD BC ∥AD ∴∠A ＋∠Ｂ=1８０° ∠B +∠Ｃ=1８0°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝３８° ∴∠C ＝3８° 【变式题组】０1.如图,已知ＡD ∥ＢＣ,点E 在BD 的延长线上,若∠A ＤＥ＝155°，则∠ＤＢC 的度数为( )Ａ.1５5° ﻩB ．50°ﻩ C .45° ﻩD .25°02.（安徽)如图，直线l 1 ∥ ｌ2,∠1＝55°，∠２＝6５°,则∠3为( ) A ． 50° B ． 55° Ｃ. 60° Ｄ．65°03.如图，已知ＦC ∥A Ｂ∥D Ｅ，∠α:∠D ：∠B ＝２: 3: 4, 试求∠α、∠Ｄ、∠B 的度数.【例2】如图,已知AB ∥ＣＤ∥EF ，GC ⊥CF ,∠B ＝60°,∠EFC ＝45°,求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合,可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BC Ｄ ∠F ＝∠FCＤ(两条直线平行，内错角相等)又∵∠Ｂ＝60° ∠EFC =４5° ∴∠B ＣD =60° ∠F ＣD =4５° 又∵ＧＣ⊥CF ∴∠GCF ＝９0°(垂直定理） ∴∠GCD =9０°－４5°=４5° ∴∠B ＣＧ=6０°－45°＝15° 【变式题组】EA FGD CB01.如图,已知AF ∥BC , 且AF 平分∠ＥAB ,∠B =48°，则∠Ｃ的的度数=__＿__＿_____＿__＿02.如图,已知∠ABC +∠A ＣB =1２0°,B Ｏ、ＣO 分别∠AB Ｃ、∠A ＣＢ，D Ｅ过点Ｏ与BC平行,则∠BOC ＝______＿＿_＿_０3．如图,已知A Ｂ∥ MP ∥CD , ＭN 平分∠AMD ，∠A ＝4０°,∠D =50°,求∠ＮＭP 的度数.【例3】如图,已知∠1＝∠２，∠C =∠Ｄ. 求证:∠A ＝∠Ｆ.【解法指导】 因果转化,综合运用.逆向思维:要证明∠A ＝∠Ｆ,即要证明ＤF ∥AC ． 要证明D Ｆ∥AC , 即要证明∠Ｄ＋∠ＤBC ＝180°,即：∠C +∠ＤBC =１80°；要证明∠C ＋∠DB Ｃ =180°即要证明DB ∥EC. 要证明DB ∥ＥC 即要 证明∠1=∠3.证明:∵∠1=∠2，∠2＝∠３（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴D Ｂ∥EC (同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C =180°(两直线平行,同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠ＤBC +∠Ｄ＝180° ∴ＤF ∥AC (同旁内角,互补两直线平行)∴∠Ａ=∠Ｆ（两直线平行,内错角相等）【变式题组】0１．如图，已知ＡＣ∥ＦG ,∠1=∠2，求证：DE ∥FG02.如图,已知∠1＋∠2＝18０°,∠３=∠B. 求证：∠AED =∠ＡCBABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）BAMCDN P （第3题图）C DAB EF1 32 G B3 C A 1D 2E F （第1题图）A 2CF 3 E D1B（第2题图）DA2 E1 B C BF E A CD０３．如图,两平面镜α、β的夹角θ，入射光线ＡO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线Ｏ′Ｂ平行 于α,则角θ等于＿________.【例4】如图,已知EG ⊥BC ,A Ｄ⊥BC ，∠１＝∠３．求证:ＡD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论的条件,要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1=∠3)证明:∵EG ⊥ＢC ,AD ⊥B Ｃ ∴∠EG Ｃ＝∠ADC ＝9０° (垂直定义)∴E Ｇ∥ＡＤ(同位角相等,两条直线平行) ∵∠1＝∠3 ∴∠3=∠BAD（两条直线平行，内错角相等） ∴ＡD 平分∠BAC (角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若A Ｅ⊥ＢC 于E ，∠1=∠2,求证：DC ⊥ＢC.02.如图,在△ＡBC 中,CE ⊥A Ｂ于E ,DF ⊥ＡB 于Ｆ, A Ｃ∥E Ｄ,CE 平分∠A ＣB ． 求证:∠ＥＤF ＝∠BD Ｆ.3．已知如图,AB ∥ＣD ,∠B =4０°，ＣN 是∠BCE 的平分线． CM ⊥C Ｎ,求：∠BC Ｍ的度数.A D M CN E B 31 A B G D CEα β P B C D A∠P ＝α＋β3 21γ 4 ψD α βE B C A FHγ α BCA【例5】已知，如图，ＡＢ∥EF ，求证：∠ＡＢC +∠BCF ＋∠CFE =360° 【解法指导】从考虑３60°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角．构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作ＣD ∥A Ｂ即把已知条件ＡB ∥ＥF 联系起来，这是关键.【证明】：过点Ｃ作ＣD ∥A Ｂ ∵CD ∥ＡＢ ∴∠１＋∠AＢC ＝180°(两直线平行,同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥ＥＦ(平行于同一条直线的两直线平行) ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行, 同旁内角互补） ∴∠ABC ＋∠１＋∠2+∠CFE ＝１80°+180°=360° 即∠A ＢC ＋∠B ＣF +∠ＣＦE ＝360° 【变式题组】０1.如图，已知,AB ∥CD ,分别探究下面四个图形中∠ＡP Ｃ和∠ＰAB 、∠ＰCD 的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴________________________＿＿__ ⑵___________＿＿＿＿____＿___＿__＿_⑶__＿_＿＿________________＿_＿___ ⑷＿＿＿___＿_＿__＿_＿___＿_＿____＿_＿_【例６】如图,已知，ＡB ∥ＣD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ-∠β=180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路．【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB. ∵A Ｂ∥EH ∴∠α＝∠1(两直线平行,内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥F Ｇ(平行于同一条直线的两直线平行)∴∠2=∠3 又∵ＡB ∥CD ∴FG ∥C Ｄ（平行于同一条直线的两直线平行)∴∠ψ+∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)∴∠α＋∠γ+∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4-ψ-∠1－∠２＝∠4＋ψ=１80°【变式题组】01．如图, AB ∥E Ｆ,∠C =90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是( ) A . ∠β＝∠α＋∠γﻩ Ｂ．∠β+∠α+∠γ=1８0°C .ﻩ∠α＋∠β－∠γ＝90°ﻩD ．∠β+∠γ－∠α=90°BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷F E D 2 1 AB CFD E B C A B CAA ′l B ′C ′02.如图,已知,ＡB ∥C Ｄ，∠ＡBE 和∠ＣDE 的平分线相交于点Ｆ，∠E ＝1４0°,求∠B ＦD的度数．【例７】如图,平移三角形AB Ｃ,设点A 移动到点A /,画出平移后的三角形A /Ｂ／C /． 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移,连． ⑴定:确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点． ⑶移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA ／ ②过点B 作AA ／的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B ／就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接Ａ/B /,B/Ｃ／，C /A ／就得到平移后的三角形A /B /C ／．【变式题组】01.如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21c ｍ,作出平移后的图形．0２.如图,已知三角形ABC 中，∠Ｃ=90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△AB Ｃ沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ＡBC 与△A ／Ｂ/Ｃ/的重叠部分的面积.03.原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着B Ｃ方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位:厘米)B B /AA /C C /西 B 30°A北东 南演练巩固 反馈提高01．如图,由Ａ测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°ﻩﻩB ．南偏东60° ﻩ Ｃ.北偏西3０° D ．北偏西６0°0２．命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直．其中的真命题的有( ) A ．1个ﻩﻩB .2个 C ．3个 Ｄ．4个 03．一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是( ） A ．第一次向左拐30°,第二次向右拐3０° B ．第一次向右拐5０°，第二次向左拐130°Ｃ.第一次向左拐50°,第二次向右拐1３０°ﻩD .第一次向左拐６0°,第二次向左拐1２0° ０4.下列命题中，正确的是( )A .对顶角相等 ﻩB . 同位角相等C .内错角相等ﻩﻩD ．同旁内角互补 05．学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知,小敏画平行线的依据有（ )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行,内错角相等；③同位角相等,两直线平行;④内错角相等，两直线平行． A .①②ﻩﻩB ．②③ﻩ Ｃ.③④ ﻩD .①④06.在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从Ａ地测得Ｂ地的走向是南偏东５2°.现A 、Ｂ两地要同时开工,若干天后,公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ） Ａ．北偏东52°ﻩ B .南偏东５２°C ．西偏北５2°D .北偏西３8° 0７.下列几种运动中属于平移的有( )①水平运输带上的砖的运动;②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动． A ．1种ﻩ Ｂ．2种 C ．3种 D .4种0８.如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置．平移这个图案,使它正好位于左上角的位置（不能出格)09.观察图,哪个图是由图⑴平移而得到的( ）10.如图,AD ∥BC ,ＡＢ∥CD ,AE ⊥BC ，现将△AB Ｅ进行平移. 平移方向为射线AD 的方向． 平移距离为线段BC 的长,则平移得到的三角形是图中( )图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角;⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补,两直线平行.12.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角; ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等.１３.如图,在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A ＝1２0°,第二个拐弯处∠B ＝１50°，第三个拐弯处∠C ,这时道路CE 恰好和道路ＡD 平行,问∠C 是多少度？并说明理由.DEAB C ED B CEDAB CEDAB C EDABC150°120°DBCE湖4321ABEFC D4P231A BEFC D１４.如图，一条河流两岸是平行的,当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成６4°角．当小船行驶到河中F点时,看B点和Ｄ点的视线ＦB、FD恰好有∠1=∠２,∠3=∠４的关系. 你能说出此时点F与码头B、Ｄ所形成的角∠BＦD的度数吗？１５．如图，ＡB∥CD，∠1＝∠２,试说明∠E和∠F的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△AB Ｃ各边都被分成五等分,这样在△AB内能与△DEF 完成重合的小三角形共有２５个,△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有( )个02.如图,一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B BO 方向匀速滚来,运动员立即从A 去拦截足球.相同，点的平移)03.如图,长方体的长AB =4ｃm ,宽BC ＝３ｃm ,高AA 1＝２ｃm . 将AC 平移到Ａ1C 1的位置上时,平移的距离是__＿____＿___,平移的方向是_＿＿＿_____＿＿. 0４.如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b );将线段Ａ１Ａ2向右平移１个单位得到B 1Ｂ2,得到封闭图形A １A ２B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现Ａ1A 2 A 3向右平移1个单位得到B １Ｂ2B 3,得到封闭图形A １A ２ A ３B 3B 2Ｂ１ ［即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线,同样的向右平移１个单位,从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积Ｓ１＝＿______＿, S 2＝_＿＿_＿___, S ３=________.⑶联想与探究:如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分草地面积是多少?CB 1AA 1C 1D 1BD.B . OF E B A CG D０5．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜１８０°），被称为一次操作,若５次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．7２0°ﻩ B ．108°或144° C ．14４° D ．720°或1４4°０６．两条直线a 、b 互相平行,直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、Ａ１0，直线ｂ上顺次有10个点B 1、B ２、…、B 9,将ａ上每一点与ｂ上每一点相连可得线段．若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ) Ａ．90 ﻩ B .1620 ﻩ C .6４80ﻩ Ｄ.2０0607.如图,已知AB ∥ＣD ,∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ,ＥＧ⊥ＥＦ. 求∠BEG 和∠ＤEG ．０8.如图,AB ∥CD ，∠ＢA Ｅ=30°,∠DCE =60°,EF 、EG 三等分∠AE Ｃ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线?为什么?０9.如图，已知直线ＣB ∥ＯＡ,∠Ｃ=∠OA Ｂ＝100°,Ｅ、F 在C Ｂ上，且满足∠ＦＯＢ＝∠A ＯＢ,O Ｅ平分∠ＣOF ． ⑴求∠EO Ｂ的度数；⑵若平行移动A Ｂ，那么∠O ＢC ：∠ＯＦC 的值是否随之发生变化？若变化,找出变化规律;若不变，求出这个比值.⑶在平行移动ＡＢ的过程中，是否存在某种情况,使∠OEC ＝∠OB Ａ?若存在,求出其度数；若不存在，说明理由．FEBACGD 100°⑶⑷F E B C----10.平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36°,请说明理由．11．如图,正方形ＡBC Ｄ的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12.如图将面积为a 2的小正方形和面积为b ２的大正方形放在一起,用添补法如何求出阴影部分面积？A B C D。