H(1) f (1) ，则 f (x) H (x)
。
16、已知函数 S(x) 为[0,2]上的三次样条函数， S(x) 1 x3 ax2 , 0 x 1， 2
S(x) (x 1)3 1 (x 1)2 b(x 1) c, 1 x 2 ，则 a
。
2
17、将区间[0,1]做 n 等分， h
二、填空题（共 20 分，每空 1 分）
1、设 E (3, 2]，则 sup E
， inf E
。
2、设 A 是内积空间 X 的非空子集，且 0 A ，则 A A
。
()
3、 设 A 是赋范空间 (Ｘ,|| ||)的非空子集，则 ()
是包含 A 的最小子空间，
含 A 的最小闭集。 ()
是包
( ) 4、对给定的 (t) C[a,b], (t) 0 ，在实赋范空间 (C[a,b],|| ||) 上定义实的线性泛函
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2018～2019 学年第一学期期末考试试卷 《应用数学基础》（共 6 页）
14、Hilbert 空间 H 的标准正交系{ei}是完全的，当且仅当 H 中不存在与每个 ei 都正交的
非零元素。
()
（考试时间：2019 年 1 月 15 日）
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 成绩 得分 一、判断题（共 15 分，每小题 1 分）
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11、设 M 是求解线性方程组 Ax b 的 Jacobi 迭代矩阵，则 det(eM ) _____。
12、设线性方程组
Ax
b
的系数矩阵
A
a
2
2
2 1
，则
Sidel
迭代法收敛的充要条件是
三、(8 分) 分别用列主元 Gauss 消去法和 Doolittle 分解法求解下列线性方程组
1 2 3 x1 0
3
5
6
x2
1
.
2 4 5 x3 0
实参数 a 满足
。
13、若 SOR 迭代格式收敛，则松弛因子
。
14、若 f (x) 3x4 2x2 1，则差商 f [2,4,8,16,32]
。
15、设 f (x) C4[0,1] ，3 次多项式 H (x) 满足 H(0) f (0) ， H(0) f (0) ， H(1) f (1) ，
五、(8 分) 用 Legendre 多项式求 f (x) ex 在 P1[0,1] 上的一次最佳平方逼近多项式 S1*(x) ， 并计算平方误差 2 。
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2 1 0
六、(1)
(7
分)已知
A
1
0
0 ，用初等变换求 E A的 Smith 标准型，并写出 A 的
y cos y 0, x (0,1],
y(0)
1,
y(0) 0,
的计算格式。
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八、（10 分）证明：在插值型求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
中，如果求积节点 九、(1) (5 分) 设 Ann 为 Hermite 矩阵，且 A 非奇异，证明： A2 为正定矩阵。
1、由全体无理数构成的集合是可数的。 2、设 M1, M2 是线性空间 X 的子空间，则 M1 M2 也是 X 的子空间。 3、线性算子T : X Y 的零空间 (T ) 是 X 的线性子空间。 4、设 X 是内积空间， A X ，则 A 是 X 的子空间。
核分人签字
15、设 X ,Y 是赋范线性空间，T : X X 是压缩映射，则T 在 X 中必有唯一的不动点。 ()
k 0
Lagrange 基函数，则
n k0
ablk2 (x)dx xk2n
。
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四、(8 分) 设 f (x) C4[0,7]，已知 f (x) 的数据表 x 1 2
3
6
f (x) −2 −1 −22 −37
求 f (x) 的 3 次 Lagrange 和 Newton 插值多项式，并给出相应的插值余项。
()
ｄ1()
。
()
(
)
8、设
A(t
)
cost sin t
sin t cos t
，则
det
dA(t) dt
。
11、设 X ,Y 是赋范线性空间，若 X 是有限维的，则 (X ,Y ) 是完备的。
(
)
9、设 {en} 是内积空间
(X,
,
)
中的标准正交系，则对 x
X
，
lim
n
x, en
。
5、设有内积空间 (X , , ) ，则 x, y, z X 及 , ，有 x,y z x, y x, z 。
6、正规矩阵的最小多项式无重零点。 7、正规矩阵 A nn 是酉矩阵的充要条件是 A 的特征值都是实数． 8、Cauchy 序列收敛于 x (X ,|| ||) ，当且仅当它有一个子序列收敛于 x 。 9、A (X ,|| ||) 是闭集的充要条件是 A A 。 10、 P [a,b]是 C[a,b] 中的闭集。
k 0
x0 , x1, ... , xn 是积分区间[a,b]上的正交多项式{n (x)}中 n 1次多项式n1(x) 的 n 1个零
(2) (5 分) 设Y 为赋范空间 (Ｘ,|| ||)的子空间，证明：Y 的闭包Y 也是 X 的子空间。
点，则该求积公式为 Gauss 型求积公式。
12、设
Байду номын сангаас
||
||
是
nn
上的任意一种方阵范数，
A nn
可逆，则
||
1 A1
||
(
A)
||
A
|| 。
(
)
0 10、设 A 0
0 2
2 0 ，则 cond1A _____。
13、设 A nn 是反 Hermite 矩阵(即 AH A ),则 e A 是酉矩阵。
()
3 0 0
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2 1 2
最小多项式，Jordan 标准型 J 和有理标准型 C 。
(2) (8 分)求解以 A 为系数矩阵的初值问题
x(t) A x(t), x(0) (1,0,1)T ,
这里 x(t) (x1, x2 , x3)T 。
姓名
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七、（6 分）写出用改进 Euler 方法解初值问题
ba n
,
xi
a ih
(i
0,1,...,n) ，则求
1
f (x)dx
0
的复化梯形
公式 Tn ( f ) =_______________________________________________。
18、已知数值积分公式
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) 是 Gauss 求积公式， lk (x) (k 0,...,n) 为
f : f (x)
b
(t
)
x(t
)dt,
x
C[ a,
b]
，则
||
f
||
a
。
()
5、设U nn 是酉矩阵，则 (U )
。
()
6、在赋范空间 (Ｘ,|| ||)中，对 x0 X , r 0 ， B(x0, r)
。
()
7、设 Hermite 矩阵 A 33 的特征值为 1,1,1，且 B～A ，则 E Ｂ的第一个不变因子