由于， E ( x, t ) E ( x)e it ，所以：
E ( x, t ) E 0 e
同理可得：
i t k ' x

B ( x, t ) B 0 e
i t kx
式中k’是复波数。下面讨论具有复波数的单色平面电磁波的特性。
具有复波数的单色平面电磁波的特性
（1）复波数和复介电常数
导电媒质中电磁波传播特性如下图所示：
现在分几种情况讨论： （i）当电导率很小时：
a , b 2
1

b 0 a
2
b tan 0 a
2
k a b
则：
B
1

a 2 b 2 E0e bxei t ax
其中a, b为实数，代入上式，可以得到：
i t axibx E ( x , t ) E0 e bx i t ax E ( x , t ) E0 e e
复波数的虚数部分表示电磁波在导电媒质中的衰减，b实际上就是 衰减系数。
具有复波数的单色平面电磁波的特性
（2）a和b的值
k 2 a 2 b2 2iab
与
2 2 2 a b k 2 2 i 对比，得到： 2ab
1 2
2 1 解上面的联立方程，得到： a 1 1 2 2 2
Hale Waihona Puke （7.7-1）上式也称为波动方程，只是多了一个与时间一次导数有关的项，这一 项与导电媒质的电导率有关，即为一消耗项，表示电磁波在导电媒质中传 播时是衰减的。
2、单色电磁波的波动方程
i t E ( r , t ) E ( r )e 设： i t B ( r , t ) B ( r )e
2 波 f fa a
2
1 2 1 2


波
2 1 1 1 2 2 2 由此可见，电磁波在导电媒质中传播的相速度和波长都由a来决定，a
实际上就是波数。
2 a
例5.3.1 一沿 x 方向极化的线极化波在海水中传播，取+ z轴方向为传 播方向。已知海水的媒质参数为εr = 80、μr =1、σ= 4S/m ，在z = 0处的 电场Ex=100cos(107πt ) V/m 。求： （1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度； （2）电场强度幅值减小为z = 0处的1/1000时，波传播的距离 （3）z = 0.8m处的电场强度和磁场强度的瞬时表达式； （4） z = 0.8m处处穿过1m2面积的平均功率。


2



2
8.89
2 2 0.707 m a 0.707 8.89 m
1 1 0.122 m b 8.89
（2） 令e-bz＝1/1000， 即ebz＝1000，由此得到电场强度幅值减小 为z = 0处的1/1000时，波传播的距离
z ln 1000 2.302 0.777 m b 8.89
2
2 令 k 2 i
2
k n
，称为复波数，则上面两式可以写成：

2 2 E ( r ) k E ( r ) 0 2 2 B(r ) k B(r ) 0
非导电媒质 （7.7-2）
此为导电媒质中电磁场满足的赫姆霍兹方程。
消去时间因子，得到： 代入
E 1 2 E 2 t B 1 2 B 2 t
2E 0 t 2 2B 0 2 t
2 E (r ) i 2 E (r ) 0 2 2 B(r ) 2 i B(r ) 0

对于非导电介质，由于电导率为0，则得到：
a ; b 0

可见，电磁波在非导电媒质中是不衰减的，因而透入深度无穷大。
若导电媒质是非良导体，则得到： 两者的比值：
a 2 1 b
a , b 2

故对于非良导体，电磁波在其中传播时衰减是很小的。
第七章 电磁场强度
景建恩 E-mail： jje2008@ Office: 教5楼118A 2012年12月 北京
章节安排
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程组 电磁场的能量守恒及坡印廷矢量 似稳电磁场 电磁波在非导电媒质中的传播 电磁波在导电媒质中的传播
3、平面单色电磁波解
设电磁波沿x方向传播，在与x正交的平面上，其强度具有相同的值，即E和B 只与x和t有关，与y和z无关，在这种情况下，赫姆霍兹方程化为一维常微分方程。
2 E ( x) k 2 E ( x) 0
它沿x正方向传播的一个解为：
E ( x) E 0 e ik x
2 B B 2 B 2 0 t t
1

E 1 2 E t 2 B 1 2 B 2 t E 0 t 2 2B 0 t 2
2
所以上式可以写成：
解：（1） 根据题意，有
10
7
f
5 10 6 2
所以
4 180 1 1 10 7 ( 10 9 ) 80 36
此时海水可视为良导体。
6 7 7 6 故衰减常数 b 10 10 10 810 .89 Np /m f f 5 54 44 4 8.89 Np/m
（3）电磁场强度之间的关系
B E t i t k ' x E ( x, t ) E0 e i t kx B( x, t ) B0e
于是得到： 其中：
k a ib a 2 b 2 e i
tan1
磁场的瞬时表达式为
H (0.8, t ) e y
V /m
H100 t0 0.8, .8 e y e 8.89
c
100e 8.890.8
1

a 2 b 2 E0e bxei t ax
B E0e e
于是：
这表示在电导率很大时，B远大于E， B的相位比E的相位落后了45度角， 磁场能量总是大于电场的能量。
E i 4 c e H

称为本征阻抗
（iii）当频率为0时，E必然趋于0，这说明此时电磁能量只能以磁能形式出现， 此与静电场结果一致。
7.7 电磁波在导电媒质中的传播
• • • •
1.导电媒质中电磁波传播的波动方程 2.单色电磁波的波动方程 3.平面单色电磁波解 4.相速度和波长
1、导电媒质中电磁波传播的波动方程
导电媒质的主要特点是存在自由电荷，电磁波在其中传播会引起传导电 流，因而在均匀导电媒质中不容易有净自由电荷的存在，所以导电媒质中的 净自由电荷密度为0。这样麦克斯韦方程可写成：
2 我们将 k 2 2 i 写成 k 2 2 i 2 i
令
i

，称之为复介电常数，则上式写成：
k 2 2
由于k’是复数，则可以分解成实数部分和虚数部分，即： k
a ib
B E0 e bxei t ax
即在电导率很小的导电媒质中，B和E具有相同的相位，两者幅值之比为

（ii）当电导率很大时：
ab

2
k a 2 b 2
tan 1
1

4
i t ax bx 4
B
2 E (r ) i 2 E (r ) 0 2 2 B(r ) 2 i B(r ) 0
2
B
1

a 2 b 2 E0e bxei t ax
1 2 1 2 2 1 b 1 1 2 2 2
1 2
对于良导体，由于电导率很大，故：
得到： a b
1
2 b

2
透入深度为： 1
则得到：
E B t
2
将麦克斯韦方程组的第一式代入上式中，得： 2 E E 2 E 2 t t 2 E E 2 E 2 0 t t 用同样的方法可得到： 因为：

1 2 1 1 2 2 1 2
1 2 1 2

1


2
故：
对于导体介质，由于 a
2

在良导体中传播的电磁波，它的相速度和频率有关，这就是色散现象。 电磁波在导电媒质中的波长是： 将a代入得到：
（3）根据题意，电场的瞬时表达式为
E ( z, t ) ex100 e 8.89 z cos( 10 7 t 8.89 z ) 磁场的瞬时表达式为
故在z = 0.8m 处，电场的瞬时表达式为
E (0.8, t ) ex 100 e 8.890.8 cos( 10 7 t 8.89 0.8) ex 0.082 cos( 10 7 t 7.11)
D E t B E t B 0 D 0 H
为了得到E满足的波动方程，将麦克斯韦方程组的第二式取旋度，有：