第九届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
1．已知锐角△ABC 的外接圆为⊙O ，边BC 、CA 、AB 上的高的垂足分
别为D 、E 、F ，直线EF 与⊙O 的 AB 、
AC 分别交于点G 、H ，直线DF 与BG 、BH 分别交于点K 、L ，直线DE 与CG 、CH 分别交于点M 、N ．证明：K 、L 、M 、N 四点共圆，且该圆的直径为2222()b c a +-，其中，BC =a ，CA =b ，AB =c ．
证明 如图1，因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以，AFE ACB ∠=∠．
图1
°°2
GB HA AFE 注意到，+∠=， °°°22AB AG GB ACB +∠==． 从而， HA AG =，即AG AH =．
因为C 、A 、F 、D 四点共圆，所以，=BFD ACB AFE BFG ∠=∠∠=∠．
从而，直线GH 与直线DK 关于直线AB 对称．
由 °°AG AH =, 知GBA ABH ∠=∠．
从而，直线BK 与直线BH 关于直线AB 对称．
因此，点K 、H 关于直线AB 对称，即AK =AH ．
类似地：点L 、G 关于直线AB 对称，即AL =AG ；
G 、N 关于直线AC 对称，即AG =AN ；
M 、H 关于直线AC 对称，即AM =AH ．
综上，AL =AN =AG =AH =AK =AM ．
因此，K 、L 、M 、N 四点共圆，且圆心为A ，半径为AG ，记该圆为⊙A ． 设⊙O 的半径为R ，⊙O 的直径AQ 与GH 交于点P ．如图2．
图2
则∠AGQ=90°，且AP ⊥GH ．
由射影定理得2AG AQ AP =⋅．
注意到，sin =cos sin AP AF AFE AC CAB ACB .=⋅∠⋅∠⋅∠
2222222cos sin =22AQ AP R AC CAB ACB
b c a b c a AB AC bc 故.⋅=⋅∠⋅∠+-+-=⋅⋅ 因此，2222
b c a AG +-=，⊙A 的直径为2222()b c a +-．。