2．若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a2＋a10＝4，则 S11 的值为( ) A．12 B．18 C．22 D．44
解析 由题可知 S11＝11a12＋a11＝11a22＋a10＝11×2 4＝22，故选 C.
3．在等差数列{an}中，若 a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝90，则 a10－13a14 的值为(
第六章 数列
第2讲 等差数列及前n项和
考点二 等差数列的性质及应用
撬点·基础点 重难点
等差数列及其前 n 项和的性质
已知{an}为等差数列，d 为公差，Sn 为该数列的前 n 项和．
(1)有穷等差数列中 与首末两项等距离 的两项的和相等，即 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an
注意点 前 n 项和性质的理解
等差数列{an}中，设前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n，S3n 的关系为 2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)不要理解为 2S2n ＝Sn＋S3n.
1．思维辨析 (1)等差数列{an}中，有 a1＋a7＝a2＋a6.( √ ) (2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为 a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.( × ) (3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a－d，a，a＋d.( √ ) (4)求等差数列的前 n 项和的最值时，只需将它的前 n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( × )
命题法 1 等差数列性质的应用 典例 1 等差数列{an}中，如果 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前 9 项的和为( ) A．297 B．144 C．99 D．66
[解析] 由 a1＋a4＋a7＝39，得 3a4＝39，a4＝13. 由 a3＋a6＋a9＝27，得 3a6＝27，a6＝9. 所以 S9＝9a1＋ 2 a9＝9a4＋ 2 a6＝9×123＋9＝9×11＝99，故选 C.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为 n2d .
(5)Snn也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的21.
(6)在等差数列{an}中，
①若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S 偶－S 奇＝ nd ；SS奇 偶＝aan＋n1.
【解题法】 应用等差数列性质应注意 (1)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用，如 an＝am＋(n－m)d，d＝ann－－mam，S2n－1＝(2n －1)an，Sn＝na1＋ 2 an＝na2＋2an－1(n，m∈N*)等． (2)如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq( m，n，p，q∈N*)．一般地，am＋an≠am＋n， 必须是两项相加，当然也可以是 am－n＋am＋n＝2am.因此，若出现 am－n，am，am＋n 等项时，可以利用此性质将 已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件．
命题法 2 与等差数列前 n 项和有关的最值问题 典例 2 等差数列{an}中，设 Sn 为其前 n 项和，且 a1>0，S3＝S11，则当 n 为多少时，Sn 最大？
[解] 解法一：由 S3＝S11 得 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，则 d＝－123a1.从而 Sn＝2dn2＋a1－d2n＝－1a31(n －7)2＋4193a1，又 a1>0，所以－1a31<0.故当 n＝7 时，Sn 最大．
解得 6.5≤n≤7.5，故当 n＝7 时，Sn 最大． 解法四：由 S3＝S11，可得 2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 故 a7＋a8＝0，又由 a1>0，S3＝S11 可知 d<0， 所以 a7>0，a8<0，所以当 n＝7 时，Sn 最大．
【解题法】 求等差数列前 n 项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前 n 项和的最值，但要注意 n∈N*. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定 n 的值，使 Sn 取得最值． (3)项的符号法：当 a1>0，d<0 时，满足aann＋≥1≤0 0 的项数 n，使 Sn 取最大值；当 a1<0，d>0 时，满足aann≤ ＋1 0≥，0 的项数 n，使 Sn 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使 Sn 取最值的 n 有两 个．
解法二：由于 Sn＝an2＋bn 是关于 n 的二次函数，由 S3＝S11，可知 Sn＝an2＋bn 的图象关于 n＝3＋211＝ 7 对称．由解法一可知 a＝－1a31<0，故当 n＝7 时，Sn 最大．
解法三：由解法一可知，d＝－123a1.要使 Sn 最大，则有aann≥ ＋1≤0，0，
即aa11＋＋nn－－1123a－1≤1230a，1≥0，
－k＋1＝….
(2)等差数列{an}中，当 m＋n＝p＋q 时， 特别地，若 m＋n＝2p，则 2ap＝am＋an
am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*)．
(m，n，p∈N*)．
(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为 md (k，m∈ N*)．
②若项数为奇数 2n－1，则 S2n－1＝ (2n－1) an；S 奇－S 偶＝ an ；SS奇 偶＝n－n 1.
(7)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前
n
项和分别是
Sn 和
Tn，则TS22mm－－11＝
am bm
.
(8)若数列{an}，{bn}是公差分别为 d1，d2 的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数 列(p，q 都是常数)，且公差分别为 pd1，d1，pd1＋qd2.
ห้องสมุดไป่ตู้
)
A．12 B．14
C．16 D．18
解析 由题意知 5a8＝90，a8＝18，a10－31a14＝a1＋9d－13(a1＋13d)＝23a8＝12，选 A 项．
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过 程中可以达到避繁就简的目的．