锐角三角函数28、1_锐角三角函数_第1课时正弦[见B本P78]i\_园础达标1 •如图28-1-b 在△遊中，ZC=90°, AB=5,BC=3,则sinJ 的值是（C ）R图28-1-1A、错误！B、错误！C、错误！D、错误！2。
把△「磁三边的「长度都扩大为原来的3倍，则锐角月的正弦函数值（A ）A o不变B.缩小为原来的错误！Co扩大为原来的3倍D。
不能确定3.如图28-1-2,在Rt△磁中，ZC=90^ , AB=2BC,则sin5的值为（C ）图28-1-2A、错误！B、错误！C、错误！D o 134•在Rt△磁中，Zr=90°9AC=9, sin5=-则（ A ）□A.15B. 12C.9 Do 6【解析】曲=错误!=错误! = 15,选A、5O如图28— 1一3所示，△磁的顶点是正方形网格的格点，则sinJ的值为（B ）图28-1-3A、错误！B、错误！C、错误！D、错误！6.如图28-1-4,角a的顶点为0,它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点尸（3, 4）, 则sin"的值是（D ）图28-1-4A、错误！B、错误！C、错误！D、错误！【解析】.\sin6r=错误!、故选D、7.△丽Q中，ZC=90Q , sinJ=错误!，则sin^=_错误!【解析】由sinJ=错误!可得错误二错误!,故可设BC=2a,AB=5a,r Fh勾股定理求得错误怙，再由正弦定义求得sin5=错误匸错误!=错误!、8、如图图28-1-5,在0。
中，过直径初延长线上的点C作00的一条切线，切点为D,若AC=79AB=49则sinC的值为—错误!—・图28-1-59.Rt AJ5C中，若Z(7=90° ,a=15, b=8,求sinE+sin万、解：由勾股泄理有c=错误!=错误! = 17,于是$:1山=错谋!, sin4错课!，所以sinJ+sin5=错误! +错误!=错误!、10•如图28-1-6所示，△磁中，ZC=90° ,sinJ=错误\,AC=2.求曲，必的长。
解：VsinJ=错误!，••・错误!=错误!，:・AB=3BC、9：AC+BC=A^. ：.2Z+BC=(3B^)\:・BC=错谋!，:.AB=错诧、11、在Rt△遊中，Z*90°,若J5=4,sinJ=错误!，则斜边上的高等于(B )A、错误！B、错误！C、错误！D、错误！12o如图28-1-7,在菱形肋G?中，％丄于伐DE=£ cm, sinE=错课!，则菱形個力的而积是_60_cm\图28-1-7【解析】在Rt△宓中,sinJ=错误!，:.AD=错误!=错误! = 10 (cm), :.AB=AD=10 cm,•'•S 电前皿=DE • J5=6X 10 = 60(cm：)o13o如图28-1-& 00的半径为3,弦肋的长为4,求siM的值.图28-1-8第13题答图【解析】要求sinJ的值，必将放在直角三角形中，故过。
作0C丄月万于C,构造直角三角形,然后根据正弦的定义求解.解：过点0作0CLAB,垂足「为C,如图所示，则有AC=BC、V/i5=4, :.AC=2.在Rt△川阳中，心何刁？=错误=错误!，:.sinA=错误匸错误!、14 •如图28-1-9,在RtAABC^, ZACB=90<i丿是M的中点，过Q点作初的垂线交M 于点E, BC=6, sinA=错误!，求 DE、图28-1-93解：V5C=6, sinJ=-□:.AB=109AC^错误! = &•••0是丽的中点，J.AD=错误145= 5,•: MDEs 2CB、・••错误!=错误!，即错误!=错误!，解得:处=错误!、15.如图28-1-10.是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0,直径曲是河底线，弦切是水位CD//AB.且G?=24m, 0E丄CD于点伐已测得sinZD0E=错误!、(1)求半径0D\(2)根据需要，水而要以每小时0. 5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？A O B图28-1-10解：(1) J 0EJCD于点E、CD=7A m,:.ED=错误\CD=\2 m.在Rt△。
血中，sinZDOE^错误!=错误!, 0D= 13 m、(2)0E=错谋!=错误!=5 (m), •••将水排干需54-0. 5 = 10 (小时)。
©布展创新16…如图28— 1一11,已知。
的半径为2,弦證的长为2错误!，点月为弦必所对优弧上任意一点（万,C两点除外）.（1）求Z场C的度数：（2）求△磁而积的最大值.图28-1-11解：（1）过点0作如丄肚于点D,连接OC, 0B、因为心2书,所以少=错误!及=错误!、又因为00=2,所以sinZD0C=错课!=错误!，所以ZDOC=60° ,所以ZB0C= 2ZD0C= 120° ,所以ZBAC=错误!Z5O7=60a、（2）因为△磁中的边肚的长不变，所以底边上的高最大时，△磁的而积最大，即点月是错误!的中点时，證的面积最大，此时错误片错误!，所以AB=AC.又因为ZBAC=6Q° ,所以△月證是等边三角形.连接初,易证初是△磁的髙.在中，AC=BC=2错谋!，G7=错谋!，所以遊错误!=错误! = 3,所以△丽C面积的最大值为错误!X2错误!X3 = 3错误!、第2课时锐角三角函数[见A本P80]z\_目础述标Lr~\ —.1•在Rt△磁中，ZC=90°，/i5=5,5C=3,则Z川的余弦值是（C ）A、错误！B、错误！C、错误！D、错误！2、如图28-1-12,将ZA0B放置在5X5的正方形网格中，则tanZAOB的值是（B ）A、错谋！B、错课！C、错误！D、错误！3O如图28-1-13是教学用直角三角板，边AC=3Q cm, ZC=90° , tanZBAC=错误!，则边庞的长为（C ）Ac 3（h/3 cm B° 20错误！cmC. 10错误！cmD. 5错误！cm【解析】BC=AC^ tanZ^C=30X错误! = 10错误！（cm）。
B.__图28-1-13图28-1-144•在Rt△磁中，ZC=90° , cos5=错误!，则AC： BC： AB=（ A ）Ao 3 ： 4 ： 5 B. 5 ： 3 ： 4C o 4 ： 3 ： 5 Do 3 ： 5 ： 4【解析】由cos5=错误!=错误!，设BC=4x,AB=5x,则月*错误!=错误!=3x,:.AC： BC： AB=3x\ 4JV：5-Y=3 ： 4 ： 5,故选A、5O如图28-1-14,在Rt△遊中，ZC=90° , AB=6. cosB=错误!，则氏的长为（儿）Ac 4 Bo 2错误！c、错误！D、错误！【解析】・.・cos5=错误!，・••错误!=错误!、•:AB=6,：.BC=错误!X6=4,故选A、6o如图28-1-15, P是乙a的边Qi上一点，点尸的坐标为（12, 5）,则tan 等于（C ）图28-1-15A、错课！B、错课！C、错课！D、错课！7O在Rt△磁中，Zr=90°,BC=8, AC=69则sin5=_错误cos片—错误!—sinJ =一错误!一，cos£=—错误!一tanJ=_错误!tan5=_错误!_•【解析】曲=错误!=错误! = 10、sin5=错误片错误!=错误!, cosB=错误!=错误!=错误!，sin/l=^=错误!=错误cosJ=错误!=错误!=错误!，A Dtan/l=错误片错误!=错误!,tan5=错误!=错误=错误!、8、[2013 •杭州]在Rt△磁中，Z C=90c , AB=2BC,现给出下列结论：①$：皿=错误!：②cos5=错误!;③tanJ=错误!;④tan5=错误!，其中正确的结论是②③④一.（只需填上正确结论的序号）9、[2013 •安顺]在Rt△磁中，Z（7=90°,"心=错误!，肚=&则Rt△遊的面枳为_24_o10、（1）在△磁中，ZC=90° , BC=2、AB=5,求sinA cosE, tanJ^(2)在△磁中，若三边BC, CA, AB满足BC： CA : AB=o : 12 : 13,求sinA cos5, tanA. 解：(1)由勾股定理，知川*错误!=错误!=错误!，:.sinA^-错误!=错误!，tanJ=错误!=错误!=错误!，coszl-错误!=错误!、(2)设BC=5k, CA=\2k, AB=\3k、V5C+6>1:=25^+144^=169^=J^,AABC为直角三角形，ZC=90a ,:.sinA^错误!=错误!, cos5=错误!=错误!, tanJ=错误!=错误!、11«> (1)若ZE为锐角，且sinJ=错谋!，求cos凡tanJ、(2)已知如图28-1-16, 中，ZC=90° , tanJ=错误!，求Z万的正弦、余弦值。
解：(1)设在△ ABC ZC=90° , 为已知锐角，VsinJ=错误!=错误!，设a=3k y c= 5k, ：・b=错误!=错误!=4R,••.cosJ=错误!=错误!=错误!，tan狂错误!=错误=错误!、(2) V ZC= 90" , 错误!=错误!，•••设BC=x y AC=2x,:.AB=y)AC+BC=错误!上・・.sin5=错误匸错误!=错误!，COS万=竽=错误!=错误!、A D12•如图28-1-17,在Rt△磁中，Q是斜边上的中线，已知防=5, AC=6.则t&n万的值是(C ) 1A、-B、错误！C、错误！D、错误！图28-1-1813.如图28-1-18,在半径为5的00中，弦初=6,点C是优弧丽上一点(不与点月，万重合)，则cosQ的值为—错误!_・【解析】连接£0并延长交于点从连接砂可得初为©0直径，故ZABD=90°、•••00的半径为5,弦AB=6,:.BD=错误!=错误!=8. V ZP=ZG:.cosC=cosD=-错误!=错误!=错误!、14。
如图28 — 1 一19,在△月證中，ZACB= 90° , CD丄AB于 D, JC=8,曲=10,求cosZBCD图28-1-19解:r V ZACB=9Q° , CD丄AB, :.ZBDC=ZACB=90Q ,:・ZB+ ZBCD=90° ,Z5+ZJ=90° ,:•乙 BCD=乙 A、9：AB=1Q, AC=3,ACcos Z BCD= cosJ=——错误!=错误!、15•已知〃为锐角，且tan "=2,求错误!的值.【解析】根据锐角三角函数的定义,结合图形设参数即可求出各边的比，从而得岀sin"、cos “的值进行计算.解:如图所示，作Rt△桃;使ZO=90° ,设月Q=厶BC=2k.则ZJ= o*：AB=错误!=错课匸错误比Asin "=错误!=错误!, cos “ =错误!=错误!,•••错误!=错误!=错误!、朽展创新16.如图28 — 1一20,左义:在直角三角形磁中，锐角&的邻边与对边的比叫做角的余切，记作cot",即cot «=错误!=错误!，根据上述角的余切泄义,解下列问题：(1)cot30G =__________ ；图28-1-20解:（1）错误!⑵VtanJ=错误!=错误!，AcotJ=错误!=错误!、第3课时特殊角三角函数值[见B本P80]ZV园础迖标1、3tan30°的值等于（A ）A、错误！B.3错误！C、错误！D、错误！2、计算6tan45°— 2cos60°的结果是（D ）A.4错误！Bo 4C o 5错误！Do 53、如图28-1-21,在Rt△磁中，Z*90°, AB=2BC,则sin万的值为（C ）A、错误！B、错误！C、错误！D. 1【解析】TRt△磁中，Z6?=90°, AB=2BC,AsinJ=错误!=错误!=错误!，・・・ZS=30° , AZ5=60a , .\sin5=错误!、图28-1-21图28-1-224.如果在△磁中，sinJ=cos5=错误!，则下列最确切的结论是（C ）扎△月證是直角三角形B.△磁是等腰三角形C.△月庞是等腰直角三角形D.△月證是锐角三角形【解析】VsinJ=cos5=错误!, .*.ZJ=Z5=45° , :.ZC=9Q° ,AC=BC, \ABC是等腰直角三角形.5.如图28-1-22,当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m,则该树高为（A ）Ao 8错谋！m B. 12错谋！mCo 12错误！m D、12 m【解析】树高为24Xtan30° =24X错误! = 8错误! （m）.6.（1）错误!cos30°的值是—错误（2）计算:sin30°・cos30°一tan30° = _错误！_ （结果保留根号）。