数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
积分的区间可加性
b
f (x)dx =
c
f (x)dx +
b f (x)dx (其中a c b)
a
a
c
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？
答：①求函数 f(x)的导数 f '(x)
②令 f '(x) >0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间.
答：函数
y
=
f (x) 在
x
=
x0
处的瞬时变化率是
lim
x→0
y x
= lim
x→0
f (x0
+ x) − x
f (x0 )
，则称
函数 y = f (x) 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 y = f (x) 在 x0 处的导数，记作 f ' (x0 )
或
y'
| x=x0
，即
f
'
(x0
)
=
lim
g(x)
=
g ( x)2
(g(x) 0)
特别地：
g
1
(x)
'
=
−g g2
'(x)
(x)
复合函数的导数 微积分基本定理
yx = yu ux
b
a
f
(
x )dx
=
F '(x) = f (x)）
（其中
和差的积分运算
b
b
b
a [ f1(x) f2(x)]dx = a f1(x)dx a f2(x)dx
答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还
可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定
积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
b
a fm (x)
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定 积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相 反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的 面积．
③令 f '(x) <0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；
注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤是什么？ 答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数 f(x)的导数 f '(x)
(3)求方程 f '(x) =0 的根
(4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间， 并列成表格，检查 f / (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在
(7) (1
i)2
=
i;(8)1+ i 1−i
=
i, 1 − 1+
i i
=
−i,
1
i 2
2
=
i
(9) 设 = −1+ 3i 是 1 的立方虚根，则1+ +2 = 0 ，3n+1 = ,3n+2 = ,3n+3 = 1 2
导函数
不定积分
y=c
y' =0
————————
( ) y = xn n N *
y ' = nxn−1
xndx = xn+1 n +1
y = ax (a 0, a 1)
y ' = ax ln a
y = ex
y ' = ex
y = loga x
(a 0, a 1, x 0)
y = ln x y = sin x
z 或 a + bi 。由模的定义可知： z = a + bi = a2 + b2
35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？ 答：①复数的加、减法法则： z1 = a + bi与z2 = c + di ，则 z1 z2 = a c + (b d)i 。
注：复数的加、减法运算也可以按向．量．的加、减法来进行。
答：若 f ( x) ， g ( x) 均可导（可积），则有：
和差的导数运算
f (x) g(x)' = f '(x) g'(x)
积的导数运算 商的导数运算
f (x) g(x)' = f '(x)g(x) f (x)g'(x)
特别地： Cf ( x) ' = Cf '( x)
f (x) ' f '(x)g(x) − f (x)g'(x)
14.归纳推理的思维过程是什么？
实验、观察
答：大致如图：
概括、推广
猜测一般性结论
15.归纳推理的特点有哪些？
答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的
一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证
明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
y'= 1 x ln a
y'= 1 x
y ' = cos x
y = cos x
y ' = −sin x
6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
axdx = ax ln a
exdx = ex
————————
1 x
dx
=
ln
x
cos xdx = sin x
sin xdx = − cos x
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②小前提：S 是 M
③结论：S 是
P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个
特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？
答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接
推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
学海无涯
（3）从矛盾判定假设不．正．确．，即所求证命题正确。 26 常见的“结论词”与“反义词”有哪些？
原结论词
反义词
原结论词
反义词
至少有一个
一个也没有 对所有的 x 都成立 存在 x 使不成立
至多有一个
至少有两个 对任意 x 不成立 存在 x 使成立
至少有 n 个
至多有 n-1 个
p或q
p 且 q
至多有 n 个
至少有 n+1 个
p且q
p 或 q
27.反证法的思维方法是什么？答：正．难．则．反． 28.如何归缪矛盾？ 答：（1）与已．知．条．件．矛盾；（2）与已．有．公．理．、．定．理．、．定．义．矛盾； （3）自．相．矛 盾． 29．数学归纳法（只能证明与正．整．数．有关的数学命题）的步骤是什么？
( ) 答：(1)证明：当 n 取第．一．个．值．n0 n0 N 时命题成立；
(2)假设当 n=k (k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n．=．k．+．1．时命题也成立.
由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确
新疆 王新敞
奎屯
注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
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数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记
1．函数的平均变化率是什么？
答：平均变化率为 y = f = f (x2 ) − f (x1) = f (x1 + x) − f (x1)
x x
x2 − x1
x
注 1：其中 x 是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一
步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义是什么？
答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他