3 刚体平衡方程 若刚体处于平衡状态：
F 0 M 0
如为共面力系, 且设诸力均位于xy平面内, 则平衡方 程简化为
Fx 0, Fy 0, M z 0
例1、一根均匀的棍子、重为P长为2l. 今将其一端置于 粗糙地面上，又以其上的C点，靠在墙上，墙离地面的
高度为h.当棍子与地面的角度为最小值0时, 棍子在上
f Pl cos0 sin 2 0 / h N2 P Pl cos2 0 sin 0 / h
f N2
Pl cos0 sin 2 0 / h P Pl cos2 0 sin 0 / h
§3.5 刚体转动惯量
1 刚体的动量矩
刚体以作定点转动, 其中质点Pi对定点的位矢是ri,
则质点对定点的动量矩为
i
mi i2
1 2
I 2
3 刚体的转动惯量
上式中i为Pi的位矢 ri 与角速度矢量之间的夹角, i 为自Pi至转动瞬轴的垂直距离，而 I 称为刚体绕
转动瞬轴的转动惯量.
回转半径 rG I / m
z
物体的转动惯量决定于物体的质量
分布的情况, 又决定于转动轴的位置. 转
动轴不同,即使是同一物体转动惯量也不 同. 平行轴定理
i
x mi yi2 zi2 y mi xi yi z mi xi zi
i
i
i
Ly x mi yi xi y mi zi2 xi2 z mi yi zi
i
i
i
Lz x mi zi xi y mi zi yi z mi xi2 yi2
i
i
i
引入符号
则刚体质心C的运动方程为
mrC
F (e) i
F
刚体在动坐标系S’中的相对运动对质心C 的总角动量
满足
•
J' M'
对固定坐标系中的定点O, 上式仍有效, 只需将J’改J (对定点 O的总角动量)，M’改M.
刚体的运动分解随质心的平动＋绕质心的转动
MMyxcc
Fx Fy
Mzc Fz
dJ x
所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶. P点叫简化中心, 力的矢量和叫主矢, 力偶矩的矢量 和叫对简化中心的主矩.
主矢使刚体平动状态发生变化 主矩使刚体转动状态发生变化
2 刚体运动微分方程
如果ri代表刚体中任一质点Pi 对静止系S原点O的位 矢, rC 为质心C对O的位矢, 而ri’ 为Pi 对质心C的位矢, 动 坐标系S’随质心作平动, 其点与质心C重合.
述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数
解： 受力分析知本题是一共
y
面力系的平衡问题, 取棍子所 在的平面为xy平面, 则
Fx 0, N1 sin 0 f 0
B
N1
Cl
Fy 0, N1 cos0 N2 P 0
对A点
Pl cos0 N1h / sin 0 0
h P
O
l N2
0
x
f
A
盘面垂直的轴的转动惯量
I 1 mR2 2
r dr Ro
例2、质量 M = 16 kg 、半径为 R = 0.15 m 的实心滑 轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m=8kg 的物体. 求（1）由静止开始 1 秒钟后，物体下降的距离. （2）绳子的张力.
解： mg T ma
ri mivi
整个L刚体对定r点i 的m动iv量i 矩为
mi
ri
ri
i
mi
r
2
ri
i
ri
i
动量矩一般不与刚体角速度共线. (动量与速度总共线)
在直角坐标系下
ri
xii
yi
j
zik
xi y j zk
所以
Lx mi x xi2 yi2 zi2 xi x xi y yi z zi
第三章 刚体力学
导读
• 空间力系和平行力系的求和 • 刚体运动微分方程和平衡方程 • 简单转动惯量的计算 •转动惯量的计算
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1 力系的简化
F1 F2 F3
将所有空间力作用点都迁移到一点.
力是滑移矢量
F
F
F
F
力可沿作用线移动，不能随意移动
设F’为作用在刚体A点上的一个力, P为空间任意一 点, 但不在F’的作用线上.
Lx I xx x I xyy I xz z
Ly I yx x I yyy I yz z Lz I zx x I zyy I zz z
2 刚体的转动动能
刚体以作定点转动, 对定点的转动动能为
Ek
1 2
i
mivi
2
1 2
i
mivi vi
1
2
i
mi
vi
ri
A
在P点添上两个与F’的作用线
F’
平行的力F1及F2, 且
r
F2
F1
P
F1 F2 0, F1 F2 F '
这样F’可以化为过P点的力F1和F’及F2所组成的 一个力偶.
力偶 方向：永远垂直于力偶的作用面
大小：与o点无关。
因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于 自身任意移动位置，不影响其效应。
dt
M x
dJ y dt
M y
dJ z
dt
M z
六个独立的方程
刚体有六个独立变量. 故质心运动及绕质心转动两 组方程式恰好确定刚体的运动情况. 也可应用动能原理， 作为一个辅助方程来代替方程中的任意一个.
注意: 这时刚体内力所作元功之和为零, 故刚体动能的 微分等于刚体在运动过程中外力所作的元功之和.
1
2
i
ri
mivi
1
2
L
1 2
I xx x2 I yyy2 I zz z 2 2I yzyz 2I zxzx 2I xyxy
刚体对定点的转动动能也可以写为
Ek
1 2
i
mivi vi
1 2
i
mi
ri
ri
1 2 2
i
miri2 sin 2 i
1 2 2
I xx mi yi2 zi2 I yy i mi zi2 xi2
i
I zz mi xi2 yi2
i
刚体对各轴的转动惯量
I xy I yx mi yi xi
i
I xz I zx mi zi xi i
I yz I zy mi zi yi
i
惯量积
则刚体动量矩表达式简化为
rG
若刚体对过质心的轴的转动惯量为 Ic ，
则刚体对与该轴相距为 d 的平行轴 z 的转
动惯量 Iz 是
Iz Ic md 2
质量为 m,长为 l 的细棒绕通过其端点和质心的垂
直轴的转动惯量
z
I 1 ml2 3
IC
1 ml2 12
o
dm
x dx
x
质量为 m,半径为 R 的均匀圆盘, 通过盘中心并与