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概率论与数理统计试卷（20170225）
一、单项选择(每小题3分，共30分，答案按左侧学号规则连线成数码数字，不可涂改，否则影响自动评分 ) 1.每次试验的成功概率为)10(<<P P ，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为( )
(1) 3
)1(P - (2) 31P - (3) )1(3P - (4))1()1()1(2
23P P P P P -+-+- 2.设A 为随机事件，且A B ⊂，则以下式子成立是( )
(1))()(A P B A P = (2))()(A P AB P = (3))()(B P A B P = (4) )()()(A P B P A B P -=-
3. 设随机变量X 的数学期望为5，方差为2，则对于任意给定的正数0>ε，下列不等式中正确的是( )
(1) 98)91(≥<<X P (2) 7(19)8P X <<≥ (3) 98)91(≤<<X P (4) 7
(19)8P X <<≤
4. 设随机变量X 在区间[3，11]上的均匀分布，则=)](),([X D X E （ ） (1) )38,
7( (2) )316,7( (3) )3
16,4( (4) )38
,4( 5. 如果随机变量21,X X 不相互独立，则=-)(21X X E ( )
(1) )()(21X E X E + (2) )()(21X E X E - (3) )()()(2121X X E X E X E -+ (4) 以上都不对
6．设)2,0(~N X ，)(~2
n Y χ，且X 与Y 独立，则统计量
n
Y X /2服从（ ）
（1）自由度为n 的t 分布 （2）自由度为1-n 的2
χ分布 （3）自由度为1-n 的t 分布 （4）自由度为n 的2
χ分布
7.设随机变量X 在区间],2[a 上服从均匀的分布，且6.0)4(=>X P ，则=a （ ） (1) 5 (2) 7 (3) 8 (4) 6 8. 设321,,X X X 为取自同一总体X 的简单随机样本，下列统计量中方差最小的是（ ）
（1）
321535252X X X ++ （2）321213161X X X ++ （3）32114914371X X X ++ （4）3213
13131X X X ++ 9. 设随机变量 n X X X ,,,21相互独立且同分布，它的期望为μ，方差为2
σ，令∑==n
i i n X n Z 1
1，则
对任意正数ε，有{}=
≥-∞
→εμn n Z P lim
（ ）
（1）0.5 (2) 1 (3) 0 (4) 上述都不对
10. 设随机变量21,X X 独立，{}5.00==i X P ，{}5.01==i X P ，2,1=i ,下列结论正确的是（ ）
(1)21X X = (2)1}{21==X X P (3)5.0}{21==X X P (4)以上都不对
二、填空(每小题3分，共18分，右侧对应题号处写答案)
1. 设事件A 与B ，7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ① .
2.已知离散型随机变量X 分布律为{},k
P X k C
==
1,2,k N =，则=C ② ______ 3.总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，则均值μ的置信度为1α-置信区间为 ③ ____________________________________________________________________ 4. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望)(2X E 为④_________________
5. 设（621,,,X X X ）是来自正态分布)1,0(N 的样本，26
4
2
3
1
)()(∑∑==+=i i i i X X Y ， 若
cY 服从2χ分布，则C=⑤_______
6. 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从X ,,1 中任取一个数，记为Y ，则
==}2{Y P ⑥
（7分）三、 某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。

现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
（7分）四、 设随机变量X 的密度函数为()f x X
，1+=X Y ,求Y 的概率密度函数.
（8分）五.
注意：学号参照范例用铅笔工整书写和填涂，上方写学号，下方填涂,一一对齐；每六点连线确定一个数字，连线不间断，不得涂改；数字1可连左边或右边，请认真完成。

本卷共4页，须在虚线框内完成作答。

选择题通过填涂选项编号数字作答。

右侧为选择题答案填涂区(答案选项用铅笔连成数字）
，其中选第1项涂1, 选第2项涂2, 以此类推；填涂规
则见学号范例，
六点一个数字，数字1可连接左边或右边三点。

注意：框架内只填涂答案，不可书写其他内容，不涂改。

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（7分）五、设随机变量X
的分布密度为：1()0,1x f x x <=≥⎩
当当
试求：（1）1
1
⎛⎫-<< ⎪p X ； （2）分布函数()F x
（7分）六、 设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=
-x e x f x
,2
)(.求：（1）X 的数学期望)(X E 和
（8分）七、某电站供应10000户居民用电。

设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户的用电是相互独
（8分）八、 设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≥=--其他,0,)()(θ
θx e x f x ，θ为未知参数，n X X X ,,,21 是来自X
的样本，求θ的矩估计量θˆ，并验证θˆ是θ的无偏估计量.
（8分）九、证明题：设t ˆ是参数t 的无偏估计，且0)ˆ2ˆ2
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概率统计试题（20170225）参考答案
一．2,1,2,2,2,1,2,4,3,3 二．（1）0.6（2）
2)1(+N N （3）
),2
2n U X n U X σσαα+-（（4）18.4（5）31（6）4813
三．全概率公式
3
1
255354402
()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯
∑ 0.0345=
四．1+=x y 单调可导，,1-=y x 由公式法，)1()(-=y f y f X Y 五． (1)P(-1/2<ξ
<1/2)=1/2
1/2
1/21
2
arcsin 1/30
x
π
π
-=
=⎰
当x<-1时 F(x)=
0-∞
=⎰
x 0dx
当11x -≤<时
F(x)=
1
1
1
arcsin arcsin 12x
x
dx x
x π
π-=
=+-⎰
当x 1≥时
F(x)=
1
1
1
arcsin 11
x
π
-=
=-⎰
故ξ分布函数为 F(x)=011
arcsin 21x π⎧⎪⎪+⎨
⎪⎪⎩
1
-111
≤≥x<-x<x
六． 021)(=⋅=
-∞
+∞-⎰dx e x X E x
，=)(X D dx e x x -∞+∞-⎰⋅-21)0(222
12=⋅=-∞+∞
-⎰dx e x x )()()()(),(X X E X E X E X X E X X Cov =-⋅=02
1=⋅=-∞
+∞-⎰dx e x x x
X 与X
不相关
,00>∀x =≤≤),(00x X x X p >≤)(0x X p )()(00x X p x X p ≤⋅≤
即存在00>x ，使[[)()(),(0000x F x F x x F X X ≠
，故X 与X
不相互独立。

七．X 为用户数)8.0,10000(~B
1600)1(.8000=-=p np np X P (>8100)=0062.0)5.2(1)1600
8000
8100(
1)8100(1=Φ-=-Φ-≈≤-X p
八．由1)()(+==⎰
∞
--θθ
θdx xe X E x 得：1ˆ-=X θ 而θθθ=-+=-=-=∑=1)(11)1(1)()ˆ(1n n n
X n E X E E n i i ，所以1ˆ-=X θ
是θ的无偏估计。

九．由公式 ()
()()[]2
2
x E x D x E += 有 ()
()()[]()222
2
ˆˆˆˆt t t D t E t
D t
E >+=+= 故2ˆt
不是2t 的无偏估计量.。