幂函数及其性质专题
一、幂函数的定义ﻩ
一般地，形如y x α=（x ∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如
112
3
4
,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基
本初等函数．
【思考】幂函数与指数函数有何不同？
本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 【例】１．下列函数:①31
x
y =；②23-=x y ；③24x x y +=；④32x y =,其中幂函数的个数为( ）
2.若函数22)5(x k k y --=是幂函数,则实数ｋ的值是（ ）
3.已知点)33,3
3
(
在幂函数ｆ(x ）的图像上,则f(x)的表达式是? 4．当()+∞∈,0x 时,幂函数()3521----=m x m m y 为减函数，则实数m 的值为？
二、函数的图像和性质
（1）y x = （2）1
2
y x = （3）2y x = （４)1y x -= （5)3y x =
用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像,可以看出:
【例】已知幂函数ｆ(x)的图像过点
(
)
2,2，幂函数
g(x ）的图像过点⎪⎭
⎫
⎝⎛41,2，(1)求f （x)，g （x)的解
析式；(２)当ｘ为何值时:①f(x)>g （x ）;②ｆ(x)＝g （x)；③f(x)＜g （ｘ） 【变式】若点
(
)
2,2改为()8,2，探求f(x)与g （x ）
中较小的一个的单调性及奇偶性。

【规律小结】 (1)求幂函数解析式的步骤为以下几点:①设出幂函数的一般形式ｙ＝x α(α为常数); ②根据已知条件求出α的值(待定系数法）；
③定出幂函数的解析式．
(2)作直线x=ｔ，t ∈(1，＋∞)与幂函数的各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的. 【幂函数性质】
(１)单调性:①所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点(1，１); ②0>a 时,幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞]上，是增函数
③0<a 时，幂函数的图象在区间（0,+∞)上是减函数. (2）奇偶性：幂函数中既有奇函数,又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断。

【例】已知莫函数()()*232N m m xm x f ∈--=的图像关于y 轴对称,且在()+∞,0上是减函数,求满足()()3
2331m
a m a --<-
+的ａ的范围。

【变式】例题题干不变,(1)求函数ｆ（x)；
（2)讨论()()
x xf b x f a x F -
=)(的奇偶性
【归纳小结】解答此类问题可分为两大步:第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性）求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围.
三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义
对数函数的定义:一般地，我们把函数log a y x =（a ＞０且a ≠１)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是（０,+∞).
幂函数的定义:一般地,形如y x α=（x ∈Ｒ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量,α是常数. ②性质
对数函数的性质：定义域：(0,+∞）;值域：R ； 过点（1,0)，即当x =１,y =0；
在(0,+∞）上是增函数；在（0，＋∞)是上减函数
幂函数的性质:所有的幂函数在（０,＋∞)都有定义，图象都过点（1，1）0>a 时，幂函数的图象都通过原点;在[0,+∞]上，y x =、2
y x =、3
y x =、1
2
y x =是增函数；在(０,+∞)上, 1y x -=是减函数。

【例题选讲】
例１．已知函数()()
2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x :
（1)是幂函数;（２）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数;（3)是正比例函数；(4)是反比例函数;（５）是二次函数；
【变式训练】已知函数()()
22
23
m m f x m m x
--=+，当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它
的图像是上升曲线。

小结与拓展:要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。

例2.比较大小:
(1）1122
1.5,1.7 （2)33
( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5
例3．已知幂函数2
23
m m y x --=(m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,
求m 的值．
例4、设函数ｆ(x )＝x 3
，
(１）求它的反函数;
(2）分别求出f -1
（x )=ｆ(x ），f －1
（x )>ｆ(ｘ)，f -1
(x )<f (x )的实数x 的范围．
点评：本题在确定x 的范围时,采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为
麻烦.
例5、求函数y =5
2x +2ｘ5
1+4（ｘ≥-32)值域. 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法.
【同步练习】
1. 下列函数中不是幂函数的是( ）
Ａ.y =
Ｂ．3y x = C ．2y x = Ｄ.1y x -=
２. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ )
Ａ．13
y x = Ｂ.2y x = C.3
y x = D.2y x -=
3． 下列幂函数中定义域为{}
0x x >的是( ） Ａ.23y x = Ｂ.32
y x = Ｃ.23
y x -
= Ｄ．32
y x
-
=
4．函数ｙ＝（x ２
－2x ）
2
1－
的定义域是（ )
A ．{ｘ｜x ≠0或x ≠2｝ Ｂ.(-∞，0) (2，+∞） C.(-∞,０）] [2,＋∞］ D.(0,2) 5.函数y ＝(１-x 2
)2
1的值域是( )
A.[０,+∞］
B.(0，1） C ．(0,1) D ．[0,1］ 6.函数ｙ=5
2x 的单调递减区间为( )
A ．(－∞,1） B.（-∞，0） C ．[0，＋∞］ Ｄ.(-∞，＋∞） 7.若a 2
1＜a
21－,则ａ的取值范围是( ）
A ．a ≥１
B ．a >0 C.1>a >0 D.１≥a ≥０ 8.函数ｙ=3
2)215(x x －＋的定义域是 。

9.函数y ＝
2
21m m x
－－在第二象限内单调递增,则ｍ的最大负整数是_＿_____＿.
10、讨论函数y ＝5
2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 11、比较下列各组中两个数的大小： (1）5
35.1，5
37.1;(2）0.７
１.５
，0.６1.5
；（3）3
2
)
2.1(－－，3
2
)
25.1(－－.
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是:
(1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性; （2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;
（３）若既不能化为同指数,也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.
1２．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域、值域； (2)判断函数的奇偶性; (３）求函数的单调区间. 规律总结
１．在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;
2．对于幂函数y ＝α
x ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置，即所在象限,其次确定曲线的类型，即α<0，0＜α＜１和α＞１三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝０，±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型；α<0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；０<α＜1时图象是横卧抛物线型．。