灵活使用对数换底公式
对数公式（一）
证明：换底公式 a
b b
c c a log log log = （由脱对数→取对数引导学生证明）
证明：设x b a =log ，则b a x =
两边取c 为底的对数，得：b a x b a c c c x c log log log log =⇒=
a b x c c log log =∴，即a
b b
c c a log log log = 注：公式成立的条件：1,0,0,1,0≠>>≠>c c b a a ；
1. 公式的运用：
利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法； 例题1：求32log 9log 278⋅的值；
分析：利用换底公式统一底数；
解法（1）：原式=9
103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅ 解法（2）：原式=
9103log 3533log 227log 32log 8log 9log 222222=⋅=⋅ 例题2：计算37254954log 3
1log 81log 2log ⋅⋅的值 分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；
解：原式=37
lg 32lg 25lg 23lg 7lg 23lg 45lg 2lg 21-=⋅-⋅⋅ 2. 由换底公式可推出下面两个常用公式：
（1）a b b a log 1log =
（2）b n
m b a m a n log log =
并应注意其在求值或化简中的应用：
3. 求证：z z y x y x log log log =⋅
分析（1）：注意到等式右边是以x 为底数的对数，故将z y log 化成以x 为底的对数； 证明：z y
z y z y x x x x y x log log log log log log =⋅=⋅ 分析（2）：换成常用对数
证明：（略）
注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如： z x
z x log lg lg =就是换底公式的逆用； 4. 已知518,9log 18==b a ，求45log 36的值（用a ，b 表示）
分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数同底后再求解；
解：b a ==5log ,9log 1818 ，一定要求a -=12log 18
a
b a -+=++==
22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 5. 强化练习 （1）50lg 2lg 5lg 2⋅+
（2）9
1log 81log 251log 532⋅⋅ （3）)8log 4log 2)(log 5log 25log 125(log 125255842++++
（4）已知a =27log 12，试用a 表示16log 6；
6. 归纳小结，强化思想
1． 对数运算性质
（1）N M MN a a a log log )(log +=
（2）N M N
M a a a log log log -= （3）N n N a n a log )(log ⋅=
2． 换底公式：a
b b
c c a log log log =
3． （1）a b b a log 1log =
（2）b n
m b a m a n log log = 4． 利用换底公式“底数化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值
或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：
（1）针对具体问题，选择好底数；
（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；
（3）换底公式的正用与逆用；
7．补充：
（1）125
27lg 81lg 6log 2+⋅ （2）41log
3log 8log 29
14+- （3）已知514,7log 14==b a ，求28log 35。