南溪一中创新部高2012级数学练习一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 在复平面内，复数iiz +-=21对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 下列有关命题的叙述错误的是 （ ) A ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 B ．若p ⌝是q 的必要条件，则p 是q ⌝的充分条件C ．命题“x x R x -∈∀2,≥0”的否定是“x x R x -∈∃2,＜0” D ．“x＞2”是“211<x ”的充分不必要条件 3. 一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23B.512C.59D.794． 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ¢在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极大值点 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5. 高二某班6名同学站成一排照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同排法种数共有( )A ．480B ．360C ．240D ．120 6. 已知函数()ln x f x e a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题： ①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立；④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是 ( )． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 7. 54)1()1(-+x x 的展开式中4x 的系数为( )A.45B.50C.65D.758.随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝a ⎝⎛⎭⎫45n(n ＝0,1,2)，其中a 为常数，则P (0.1＜ξ＜2.9)的值为( ) A.1625B.916C.3661D.20619.设函数,sin )(x x x f ⋅= 若],2,2[,21ππ-∈x x 且),()(21x f x f >则下列不等式恒成立的是 ( ) A.21x x > B.21x x < C.021>+x x D.2221x x >10.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有A ．108种B ．60种C ．48种D ．36种 二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知,)32(443322104x a x a x a x a a x ++++=-则.______4321=+++a a a a 12.若复数z 满足,2=z 则i z 43+-的最大值是.______13.若函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为.________ 14.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有1人参加。
甲不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的总数为_______（填数字）15.．当012,,a a a 成等差数列时，有01220;a a a -+=当0123,,,a a a a 成等差数列时，有0123330;a a a a -+-=当01234,,,,a a a a a 成等差数列时，有+012344640;a a a a a -+-=由此归纳，当 012,,,,n a a a a 成等差数列时，有012012(1)0n nn n n n n C a C a C a C a -+-+-=.如果012,,,,n a a a a 成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为______________. 三、解答题（共75分）16. 如图，在空间直角坐标系O - xyz 中，正四棱锥P - ABCD的侧棱长与底边长都为，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且13PM BN PA BD ==． （1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．17.（12分）已知2=x 是函数x e a ax x x f )32()(2--+=的一个极值点。
（1）求实数a 的值；（2）求函数)(x f 在]3,23[上的最小值。
18.某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. 直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且160,,BAD A A AB E ∠==为1BB 延长线上的一点，1D E ⊥面1D AC ．(Ⅰ)求二面角1E AC D --的大小； (Ⅱ)在1D E上是否存在一点P ，使1//A P 面EAC ？若存在，求1:D P PE 的值;不存在，说明理由．20.（13分）已知函数1ln )(+-=x axx x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性。
21.（14分）设函数()313f x x ax =-()0a >，()221g x bx b =+-.（1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求实数a ，b 的值；（2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）当1a =，0b =时，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值南溪一中创新部高2012级数学练习参考答案一、 选择题（每题5分，共50分） 1~5：DACBC 6~10 CACDA二、 填空题（每题5分，共25分） 11.80-12.713.31≥m 14.18015.012(1)0121.n nnnnnC C C C na a a a --⋅⋅⋅⋅=三、解答题16.设MN 与平面PAD 所成角为,θ则sin |cos ,|n MN θ=<>=所以MN 与平面PAD 17（1）.]3)2([)32()2()('22x x x e a x a x e a ax x e a x x f --++=--+++=∵2=x 是函数)(x f 的一个极值点，0)2('=∴f 解得.5-=a（2）由,0)1)(2()('>--=x e x x x f 得)(x f 在)1,(-∞上递增，在),2(+∞上递增，由,0)('<x f 得)(x f 在)2,1(上递减。
∴2)2(e f =是)(x f 在]3,23[∈x 上的最小值。
18.【解析】所以随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3 4 5P 1481872413316124故117131801234548824316243Eξ=+++++=………………………12分220,1,h h ∴-=∴=即(0,1,3)E ，1(0,2,1),(3,1,3)D E AE ∴==-，设平面EAC 的法向量为(,,)m x y z =，则由m CAm AE⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得030x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令1z =-，∴平面EAC的一个法向量为(0,3,1)m =-，又平面1D AC 的法向量11112(0,2,1),cos ,2m D E D E m D E m D E ⋅=∴<>==⋅||||∴二面角1E AC D --大小为45； (Ⅱ)设111(),D P PE D E D P λλ==-112(0,,),111D P D E λλλλλλ==+++111121(1,0)(0,,)(,)1111A P A D D P λλλλλλλλ-∴=+==-+=++++，1//A P 面113,,303(1)0,,112EAC A P m λλλλλ-∴⊥∴-+⨯+-⨯=∴=++ ∴存在点P 使1//A P 面,EAC 此时1:3:2D P PE =19. ∵222')1(1)2()1()1(1)(++--=+-+-=x x x a x x ax x a x x f 0x >，考虑分子2(2)1x a x --+当240a a ∆=-≤，即04a ≤≤时，在(0,)+∞上，'()0f x ≥恒成立，此时()f x 在(0,)+∞24>时，方程2x 1x =2x =，显然120x x <<，∵当1(0,)x x ∈或2(,)x x ∈+∞时，0<；∴函数()f x在上单调递减，在和)+∞上单调递增.21. （1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-，所以()2f x x a ¢=-，()2g x bx ¢=.因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线,所以()()11g f =,且()()11g f ¢=¢。
即1231-+=-b b a ,且b a 21=-,解得31,31==b a . （2）当b a 21-=时，()321132a h x x x ax a -=+--()0a >，所以()()()()211h x x a x a x x a ¢=+--=+-．令()0h x ¢=，解得0,121>=-=a x x ．当x 变化时，()()x h x h ,¢的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递增区间为()()+∞-∞-,,1,a ，单调递减区间为()a ,1-． 故()h x 在区间()1,2--内单调递增，在区间()0,1-内单调递减． 从而函数()h x 在区间()0,2-内恰有两个零点，当且仅当 ()()()20,10,00.h h h -<⎧⎪->⎨⎪<⎩即()82120,3110,320.a a a aa a a ⎧-+-+-<⎪⎪-⎪-++->⎨⎪-<⎪⎪⎩解得310<<a ．所以实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0． （3）当1a =，0b =时，()3113h x x x =--．所以函数()h x 的单调递增区间为()()+∞-∞-,1,1,，单调递减区间为()1,1-．由于()523h -=-，()513h =-，所以()()21h h -=．①当31t +<，即2t <-时，()minh x =⎡⎤⎣⎦()3113h t t t =--． ②当21t -≤<时，()minh x =⎡⎤⎣⎦()513h =-． ③当1≥t 时，()h x 在区间[]3,+t t 上单调递增，()minh x =⎡⎤⎣⎦()3113h t t t =--． 综上可知，函数()h x 在区间[]3,+t t 上的最小值为()minh x =⎡⎤⎣⎦()[)[)311,,21,,35,2,1.3t t t t ⎧--∈-∞-+∞⎪⎪⎨⎪-∈-⎪⎩。