★绝密 备战2014专题主编：冷世平排列组合的常见题型及其解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

◆处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）；②有序还是无序；③分步还是分类。

◆处理排列组合应用题的规律⑴两种思路：直接法，间接法；⑵两种途径：元素分析法，位置分析法。

排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。

同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。

因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。

首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

⑶复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

⑷按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。

⑸处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

⑹在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等；其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

【策略1】特殊元素（位置）用优先考虑把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

【例1】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有种不同站法。

【分析】解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

【法一】（优先考虑特殊元素）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有120种站法，故站法共有480种；A种方法；剩下四【法二】（优先考虑特殊位置）先从除甲外的五个元素中任取两个站在两端，有25A种方法，共计有480种。

个人作全排列有44用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。

30【策略2】相邻问题用捆绑法将相邻的元素内部进行全排列，绑成一捆，看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列。

【例2】5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有 种不同排法。

4320【解析】把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有65432⨯⨯⨯⨯种，然后女生内部再进行排列，有6种，所以排法共有4320种。

↓7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有 种不同的排法。

【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同不相邻问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

【例3】7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有种排法。

【解析】先将其余4人排成一排，有4321⨯⨯⨯种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有543⨯⨯种，所以排法共有1440种。

1.★7人排成一排，甲、乙、丙3人不相邻有 种排法。

【解析】不相邻包括两类情况：一是三个人互不相邻；二是三个人中有两个人相邻，故从正面做，有43242453454320A A A A A +=种方法；从反面考虑，共有7357354320A A A -=种方法。

2.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有种。

【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种。

3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30【提示】26A4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 425.1【策略4】定序问题用消序法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

解题方法是：先将n 个元素进行全排列有!n 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到消序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有n n m mA A 种排列方法。

【例4】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有个。

300【解析】不考虑限制条件，组成的六位数有1555C A ⋅种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有15552C A ⋅个。

↓10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有 种排法。

510C 或10105555A A A ⋅ 【策略5】分组问题与分配问题平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nn A (n 为均分的组数)避免重复计数；非均匀分组，组合处理。

【例5】有9个不同的文具盒：⑴将其平均分成三组；⑵将其分成三组，每组个数2,3,4。

上述问题各有多少种不同的分法？【解析】⑴此题属于分组问题：先取3个为第一组，有39C 种分法，再取3个为第二组，有36C 种分法，剩下3个为第三组，有33C 种分法，由于三组之间没有顺序，故有33396333C C C A 种分法；⑵同⑴，共有234974C C C 种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以33A 。

1.有9本不同的书：⑴分给甲2本，乙3本，丙4本；⑵分给三个人，分别得2本，3本，4本。

上述问题各有多少种不同的分法？【解析】⑴此题是定额分配问题，先让甲选，有29C 种；再让乙选，有37C 种；剩下的给丙，有44C 种，共有234974C C C 种不同的分法；⑵此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有23439743...C C C A 种不同的分法。

【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列。

2.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有 种分法。

544213842/C C C A 3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______2224262290C C A A = 4.1【策略6】分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

【例6】9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有 种。

【解析】9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有99A 种。

8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有 排法。

【解析】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种【策略7】同元问题用隔板法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。

【例7】（指标分配问题）有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有 种不同的分配方案。

【解析】6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有59C 种。

1.（放球问题）5个相同小球放到4个不同盒子里，每盒至少有1个，共有 种放法。

【法一】每盒先放入1球，剩下1球任选1盒，共有144C =种放法。

【法二】（第一隔板法）5个小球可形成6个空隙，由于每盒至少放1个小球，所以除去两边空隙还剩4个空，只要在这4个位置上隔进3个板，即可满足要求。

所以有344C =种放法。

2.将5个相同小球放到4个不同盒子里（盒子可空），共有 种放法。

【法一】（分类法）第一类：全部放入1个盒子里，有144C =种放法；第二类：放入2个盒子里，有24424C ⨯=种放法；第三类：放入3个盒子里，有34624C ⨯=种放法；第四类：放入4个盒子里，有4种放法。

所以，共有42424456+++=种放法。

【法二】（第二隔板法）将4个盒子与5个小球看成9个相同元素，除去两边形成8个空隙，将这8个空隙隔进3个板，即有3856C =种放法。

3.方程100x y z w +++=自然数解有 组；非负整数解有 组；正整数解 组。

33310310399,,C C C4.★方程1231023x x x x ++++= 的非负整数整数解有多少组？【解析】①当10x =时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有311165C =种；②当11x =时，转化为1个小球装入9个不同的盒子，可以有空盒，有199C =种；所以该方程有1659174+=组非负整数整数解。

5.10125()x x x ++⋅⋅⋅+展开式中共有 项。