2 2
A P D B E C
2
）=2
练习
的图象与X轴交于 轴交于A 两点,如图所示 二次函数 y= 2x - 2 的图象与 轴交于 、B两点 如图所示，与y 两点 如图所示， 轴交于C点 直线 直线x=m(m＞1)与X轴交于点 轴交于点D. 轴交于 点.直线 ＞ 与 轴交于点 三点的坐标。 （1）求A 、B 、C三点的坐标。 ） 三点的坐标 上取一点P（ 在第一象限）， （2）在直线 ）在直线x=m(m＞1)上取一点 （点P在第一象限），要使以 ＞ 上取一点 在第一象限），要使以 PDB为顶点的三角形与以 为顶点的三角形相似，求P点得坐标 为顶点的三角形与以B为顶点的三角形相似 为顶点的三角形与以 为顶点的三角形相似， 点得坐标 用含m的代数式表示 的代数式表示） （用含 的代数式表示） 2 （3）在（2）成立的条件下，问抛物线 y= 2x - 2 的图象上是否 ） ）成立的条件下， 存在一点Q,使四边形 使四边形ABPQ是平行四边形 若存在，请求出此时 是平行四边形?若存在 存在一点 使四边形 是平行四边形 若存在， m的值；若不存在，请说明理由。 的值； 的值 若不存在，请说明理由。 y
2
A
O C
B
x
如图， ），B 例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （-1,0）， 如图 在平面直角坐标系中，抛物线A（ ）， （3,0）C（0，-1）三点。 ） （ ， ）三点。 （1）求该抛物线的表达式； ）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P ，使Q、P、 ） 在 轴上，在抛物线上是否存在一点 、 、 轴上 A、B为顶点的四边形是平行四边形。若存在，请求出点 为顶点的四边形是平行四边形。 、 为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 的坐标；若不存在，请说明理由。
抛Hale Waihona Puke 引玉1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点 点 、 是平面内不在同一条直线上的三点, 是平面内不在同一条直线上的三点 是平面内任意一点,若 、 点D是平面内任意一点 若A、B 、C 、D四点恰好 是平面内任意一点 四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 构成一个平行四边形 则在平面内符合这样条件的 点D有( C ) 有 A 1个 个 B 2个 个
y P Q
Q
P
由题意可知 PQ=4，所以 点 ，所以P点 横坐标X=± 横坐标 ±4
A （-1,0） ） O B （3,0） ） x
(2)当AB为一条对角线时 当 为一条对角线 为一条对角线时
y
由题意可知AO=BE=1 由题意可知 所以OE=3-1=2 所以
Q
所以P点横坐标 所以 点横坐标X=2 点横坐标
4 ∵BQ = t = = PR 5
4 14 ∴2 + = 5 5
8 14 8 14 ∴R ( ， − ) ，经检验R ( ， − ) 不在抛物线上 5 5 5 5
12 6 综上所述，当S最小时，抛物线上存在点R ( ， − ) ，使得以P、B、Q、R 5 5
为顶点的四边形是平行四边形。
第二类型：两个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
8 2 ∴BP = 2 − = = QR 5 5
2 12 12 6 ∴2 + = ，∴R( ， − ) ， 5 5 5 5
12 6 经检验R( ， − ) 在抛物线上， 5 5
显然， 的点R不在抛物线上 显然，□ PBQR的点 不在抛物线上 的点 不在抛物线上.
R R
(2)当PB为一条对角线，使四边形 当 为一条对角线 使四边形PRBQ为平行四边形时 为一条对角线， 为平行四边形时
(1) m=1 y=x+1 y= x - 2x + 1 O (2)点C、D是定点，点P、E两个动点 是定点， 、 是定点 、 两个动点 点坐标（ ， 设P点坐标（X，x+1 点坐标 得 （ x+1）- （ ） ），则点 坐标 ），则点E坐标（X， x - 2x + 1 ）由 PE=DC 则点 坐标（ ， x - 2x + 1
y
是定点， 点A、B是定点， 、 是定点 两个动点 点Q 、P两个动点 分两种情况： 分两种情况： AB为一条边 为一条边 AB为一条对角线 为一条对角线
A （-1,0） ） O
Q
P
（ ） B 3,0） x
假设在抛物线上存在点P，使得以A、 、 、 为 解:假设在抛物线上存在点 ，使得以 、B、Q、P为 假设在抛物线上存在点 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当AB为一条边时 为一条边时 当 为一条边
中考复习小专题
——平行四边形存在性问题 平行四边形存在性问题
苑陵中学
赵晓红
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在 的问题，这类问题多以压轴题形式出现， 的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 解题方法灵活， 解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力 要求较高，是近几年中考的“热点” 难点。 要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多， 存在性问题类型很多，今天这节课只研究
——平行四边形存在性问题 平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题
分两类型 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
D (-4,2)
C(0,2)
D (4,2)
E (-1,0) A O B(3,0) D (2,-2)
第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为 的边长为2cm，点A、 例1. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为 ， 、 C分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上，抛物线 分别在y轴的负半轴和 轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点 和 经过点A和 分别在 轴的负半轴和x轴的正半轴上 经过点 B，且12a+5c=0 ， （1）求抛物线的解析式； ）求抛物线的解析式； 由点A沿 边以 边以2cm/ｓ的速度向点 移动，同时点 由点 移动， （2）如果点 由点 沿AB边以 ）如果点P由点 ｓ的速度向点B移动 同时点Q由点 B开始沿 边以 开始沿BC边以 移动， 开始沿 边以1cm/ｓ的速度向点 移动，那么： ｓ的速度向点C移动 那么： 移动开始后第t秒时 秒时， ），试写出 试写出S与 之间的函数关 ①移动开始后第 秒时，设S=PQ2（cm2），试写出 与t之间的函数关 系式，并写出t的取值范围 的取值范围； 系式，并写出 的取值范围； 取最小值时， ②当S取最小值时，在抛物线上是否存在点 ，使得以 、B、Q、R为 取最小值时 在抛物线上是否存在点R，使得以P、 、 、 为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标 若不存在， 的坐标； 顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在， 请说明理由。 请说明理由。
②当S取得最小值时，t =
4 5
8 6 ∴P ( ， − 2 ) ，Q ( 2 ， − ) 5 5
R
R
都是定点， 点P、B、Q都是定点，只有 、 、 都是定点 一个动点位置不确定 点R一个动点位置不确定 一个动点 分两种情况： 分两种情况：
R
假设在抛物线上存在点R，使得以P、 、 、 为 解:假设在抛物线上存在点 ，使得以 、B、Q、R为 假设在抛物线上存在点 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况： (1)当PB为一条边，使四边形 为一条边， 当 为一条边 使四边形PBRQ为平行四边形时 为平行四边形时
D
C 3个 个
D 4个 个
C D
A
B
D
2.如图 在平面直角坐标系中 点A坐标 如图,在平面直角坐标系中 坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 如图 在平面直角坐标系中,点 坐标 是平面内任意一点,若 、 点D是平面内任意一点 若A、B 、C 、D四点恰好构成一 是平面内任意一点 四点恰好构成一 个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点 则在平面内符合这样条件的点D的 个平行四边形 则在平面内符合这样条件的点 的坐标为
O A （-1,0） ）
E B P （3,0） ） x
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 直线y=x+m 例3.如图 已知二次函数图象的顶点坐标为 如图 已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线 直线 与该二次函数的图象交于A 两点,其中 点的坐标为(3,4),B 与该二次函数的图象交于 、B两点 其中 点的坐标为 两点 其中A点的坐标为 点在y轴上 点在 轴上 (1)求m值及二次函数的关系式 求 值及二次函数的关系式 值及二次函数的关系式. (2)D为直线 B与二次函数图象对称轴的 为直线A 与二次函数图象对称轴的 为直线 交点,P线段 线段A 上的一个动点 上的一个动点(点 与 交点 线段 B上的一个动点 点P与A 、 B不重合 过P作x轴的垂线与二次函数的 不重合),过 作 轴的垂线与二次函数的 不重合 图象交于E点,在线段 B上是否存在一点 图象交于 点 在线段A 上是否存在一点 在线段 P,使四边形 使四边形DCEP是平行四边形 若存在， 是平行四边形?若存在 使四边形 是平行四边形 若存在， 请求出点P的坐标 若不存在， 的坐标； 请求出点 的坐标；若不存在，请说明理 由。