高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。

求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

，求f(x)的解，待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。

x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。

三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。

换元法()f x 211(1)(1)1f x x+=-2211(2)()f x x x x+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式22()(1)12f t t t t∴=--=-11tx+=（1）解：令11t x=-1t ≠则且2()2f x x x=-(1)x ≠即换元法2()2f x x ∴=-(2)x ≥凑配法x1x x+用替代式中的12x x+≥又考虑到211()()2f x x x x+=+-（2）解：【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。

解法1，采用配凑法；解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的； 解法3，采用换元法，这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。

【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。

四 【消元法】【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

解函数方程组法13()2()f x f x x+=(0)x ≠()f x 例题：已知，求13()2()113()2()f x f x xf f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解：由32()55x f x x=-(0)x ≠解得Iuytr ·=76怕见他上网、代入法1()fx x x=+1C 1C (2,1)A 2C 2C ()g x 例题：设函数的图象为，关于点对称的图象为，求对应的函数的表达式。

可以为()y g x =(,)x y (2,1)A (4,2)x y --()y f x =设图象上任一点，则关于对称点为在上，解：1244y x x -=-+-即124y x x =-+-即1()24g x x x =-+-(4)x ≠故题5．若)()()(y f x f y x f ⋅=+，且2)1(=f ， 求值)2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ . 六．利用给定的特性求解析式.题6．设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， x e x e x f +⋅=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.练习6．对x∈R， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x∈[9，10]时)(x f 的表达式.七．相关点法题8．已知函数12)(+=x x f ，当点P(x ，y)在y=)(x f 的图象上运动时，点Q(3,2x y -)在y=g(x)的图象上，求函数g(x)..训练例题(1)已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求f (x )的解析式。

(2)已知f （x ＋x 1）＝x 3＋x1，求f (x )的解析式。

(3)已知函数f （x ）是一次函数，且满足关系式3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f (x )的解析式。

分析：此题目中的“f ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。

即：求出f 及其定义域.(1)解法一：【换元法】设t ＝x ＋1≥1，则x ＝t －1，∴x ＝（t －1）2 ∴f （t ）＝（t －1）2＋2（t －1）＝t 2－1（t ≥1） ∴f （x ）＝x 2－1（x ≥1）解法二：【凑配法】由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1，∴f(x)=2x -1(x≥1)【评注：】①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。

②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。

(2)∵x 3＋31x ＝（x ＋x 1）（x 2＋21x －1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x 1）2－3]∴f （x ＋x 1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x1）2－3]∴f （x ）＝x （x 2－3）＝x 3－3x∴当x ≠0时，x ＋x 1≥2或x ＋x1≤－2∴f （x ）＝x 3－3x （x ≤－2或x ≥2） (3)设f （x ）＝ax ＋b则3f （x ＋1）－2f （x －1）＝3ax ＋3a ＋2b ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17 ∴a ＝2，b ＝7 ∴f （x ）＝2x ＋7评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。

值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。

（4）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ；（5）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（6）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（7）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．解：（4）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（5）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-．（6）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（7）12()()3f x f x x +=①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+= ②，①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．注：第（4）题用配凑法；第（5）题用换元法；第（6）题已知一次函数，可用待定系数法；第（7）题用方程组法．(8)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S (公里)表示成时间t (小时)的函数。

分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定。

解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴S ＝100t∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，∴从甲地到乙地所用时间为t ＝1001500小时答：所求函数为：S ＝100t t ∈[0，15](9)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长％，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食.求出函数y 关于x 的解析式。

分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导。

解：设现在某乡镇人口为A ，则1年后此乡镇的人口数为A (1＋％)， 2年后的此乡镇人口数为A （1＋％）2… 经过x 年后此乡镇人口数为A (1＋％)x 。

再设现在某乡镇粮食产量为B ，则1年后此乡镇的粮食产量为B (1＋4％),2年后的此乡镇粮食产量为B （1＋4％）2…， 经过x 年后此乡镇粮食产量为B （1＋4％）x ， 因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 kg ，即AB＝360， 所以x 年后的人均一年占有粮食为y ，即y ＝xxx x A B %)2.11(%)41(360%)2.11(%)41(++=++（x ∈N *)评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制。

（10）我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a 3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费。