高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。

题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。

例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。

（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论考核合格”为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件解法1：()()123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++()()()()123123123123P A A A P A A P A A A P A A A =+++0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.902=解法2：()()1P C P C =-()1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++()()()()1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10.098=-0.902=所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯0.254016=0.254≈所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。

例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（）A 、156B 、170C 、1336D 、1420解析：共有339633280C C A ∙=种分组的方法，三组的平均值可能是456，357，258，348，267，且各有一种分组的方法，所求的概率为5128056=，故选A 例5：从原点出发的某质点M ，按照向量(1,0)=a 移动的概率为53，按照向量(2,0)=b 移动的概率为52，设可到达点)0,(n 的概率为n P ．（Ⅰ）求概率1P 、2P ；（Ⅱ）求2+n P 与n P 、1+n P 的关系并证明数列{}12++-n n P P 是等比数列；（Ⅲ）求n P ．解(Ⅰ)M 点到达点)0,1(的概率为531=P ；M 点到达点)0,2(的事件由两个互斥事件组成：①A=“M 点先按向量)0,1(=a 到达点)0,1(，再按向量(1,0)=a 到达点)0,2(”，此时253()(=A P ；②B=“M 点先按向量(2,0)=b 移动直接到达点)0,2(”，此时52)(=B P 。

=2P +)(A P =)(B P 2)53(52+2519=(Ⅱ)M 点到达点)0,2(+n 的事件由两个互斥事件组成：①=+2n A “从点)0,1(+n 按向量(1,0)=a 移动到达点)0,2(+n ”，此时1253)(++=n n P A P ；②=+2n B “从点)0,(n 按向量)0,2(=b 移动到达点)0,2(+n ”，此时n n P B P 52)(2=+。

n n n P P P 525312+=∴++，即=-++12n n P P )(521n n P P --+∴数列{}12++-n n P P 是以25412=-P P 为首项，公比为52-的等比数列。

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知=-++12n n P P n n )52()52(2542-=--=-+n n P P 1152(--n =--1n n P P 252(--n ……=-12P P 2)52(-n n P P 52()52()52(321-++-+-=-111)52(7272])52(1[72521]52(1[52----+-=---=+---=n n n 11)52(723511)52(727253---+=-+-=∴n n n P 例6：设事件A 发生的概率为p ，若在A 发生的条件下发生B 的概率为'p ，则事件,A B 同时发生的概率为'p p ∙根据这一事实解答下列问题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3…，100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即01p =）由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若出现正面，则棋子向前跳动一站，若出现反面则向前跳动两站；直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。

已知硬币出现正、反两面的概率相等，设棋子在跳跃的过程中经过第n 站的概率为n p 。

（1）求123,,P P P （2）（2）设1(1100)n n n a P P n -=-≤≤，求证数列｛n a ｝是等比数列。

（3）求玩游戏获胜的概率。

解析：（1）012311113113151,,,2222422428P P P P =∴==⨯+==+⨯= （2）棋子跳到第n 站，必须是从第1n -站或第2n -站跳来的(2100)n ≤≤，所以12112111,()222n n n n n n n P P P P P P P -----=+∴-=--，11(2100),2n n a a n -∴=-≤≤且11012a P P =-=-，故｛n a ｝是以公比为12-，首项为12-的等比数列。

（30由（2）知1239910219998()()()a a a a P P P P P P ++++=-+-++- =2999910011121()()())22232P -+-++-⇒=- ，所以获胜的概率为9910021(132P =-例7：质点A 位于数轴0x =处，质点B 位于2x =处。

这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为13，向右移动的概率为23。

（Ⅰ）求3秒后，质点A 位于点1x =处的概率；（Ⅱ）求2秒后，质点,A B 同时在点2x =处的概率；（Ⅲ）假若质点C 在0,1x x ==两处之间移动，并满足：当质点C 在0x =处时，1秒后必移到1x =处；当质点C 在1x =处，1秒后分别以12的概率停留在1x =处或移动到0x =处，今质点C 在1x =处，求8秒后质点C 在1x =处的概率。

解析：（1）3秒后，质点A 到1x =处，必须经过两次向右，一次向左移动；223214((339P C ∴==（2）2秒后，质点,A B 同时在点2x =处，必须质点A 两次向右，且质点B 一次向左，一次向右；故12222116333381P C =⨯⨯⨯⨯=（3）设第n 秒后，质点C 在1x =处的概率为n x ，质点C 在0x =处的概率为n y 依题意知：112n n n x x y +=+，由1,n n x y +=得11111,32(32)()22n n n n x x x x ++=-∴-=--所以｛32n x -｝是首项为111323222x -=⨯-=-，公比为12-的等比数列。