习题3.11.(1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2) {aa , ab , ba , bb } (3) {-1,1}(4) {11,13,17,19,23,29} (5) {1,2,3,…,79} (6) {2}2. 用描述法表示下列集合:(1) 不超过200的自然数的集合;{|N 200}x x x ∈∧≤(2) 被5除余1的正整数的集合;+{|I (N 51)}x x y y x y ∈∧∃∈∧=+(3) 函数y =sin x 的值域;{|R 11}y y y ∈∧-≤≤(4) 72的质因子的集合;{|N |72(N 2|)}x x x y y y x y x ∈∧∧∀∈∧≤<→/(5) 不等式031>-x 的解集; {|R 3}x x x ∈∧>(6) 函数2312+-=x x y 的定义域集. {|R 12}x x x x ∈∧≠∧≠3. 用归纳定义法描述下列集合:(1) 允许有前0的十进制无符号整数的集合; ① {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A ⊆ (2) 不允许有前0的十进制无符号整数的集合;①{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A ⊆② 如果x A ∈，则{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}x x x x x x x x x x A ⊆ (3) 不允许有前0的二进制无符号偶数的集合; ① 1A ∈② 如果x A ∈，则{0,1}x x A ⊆(4) 5的正整数倍的集合. ① 5A ∈② 如果x A ∈，则5x A +∈4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合): (1) (2)(3) ;A ∈∅;A ⊆∅};{A A ∈ (4)(5)(6) ;A A ⊆;A A ∈};{A A =(7) }.{∅=∅答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。

5. 判断下列命题中哪些为真：(1) (2) (3) {}{,{}}∅∈∅∅{,{}}∅⊆∅∅{,{{}}}∅∈∅∅(4) (5){{ (6) {{{}{,{{}}}∅⊆∅∅}}{,{}}∅∈∅∅}}{,{}}∅⊆∅∅(7) (8){{{{}}{,{,{}}}∅∈∅∅∅}}{,{,{}}}∅⊆∅∅∅ (9) (10){,}{,,{},{}}a b a b a b ∈{,}{,,{},{}}a b a b a b ⊆(11)(12) (13) {}∅⊆∅{}∅⊂∅∅⊂∅ (14) {}∅∈∅答：(1),(2),(4),(6),(10),(11),(12),(14)为真，(3),(5),(7),(8),(9),(13)为假。

6. 设A 和B 是集合，A B ⊆和A B ∈能同时成立吗？为什么？ 答：能。

当时，{}B A A = A B ⊆和A B ∈同时成立。

7. 设A 和B 是集合，A B ⊆和B A ∈能同时成立吗？为什么？答：不能。

若A B ⊆和B A ∈同时成立，则我们能得到B B ∈，而这是不可能的。

8. 设A ，B 和C 是集合，若A B ∈，且B C ∈，则A C ∈可能成立吗？A C ∈是否总能成立？为什么？答：A C ∈可能成立。

比如当，{}B A ∈{,}C A B =时，A B ∈，B C ∈和A C ∈同时成立。

但结论不是总成立。

比如，{}B A ∈{}C B =时，A B ∈且B C ∈，但A C ∈不成立。

9. 设A ，B 和C 是任意集合，证明或否定下列断言： (1) 若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆结论成立。

因为x A x B x C ∈⇒∈⇒∈，所以A C ⊆ (2) 若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ∈结论不成立。

例如当时，有{},{,},{,,}A a B a b C a b c ===A B ⊆，且B C ⊆，但A C ∉ (3) 若B A ∈，且C B ∈，则sC A ∈命题为假。

设,易知{},{}B A C B ==B A ∈，且C B ∈，但C A ∉ (4)若B A ∈，且B C ⊆，则C A ∈结论成立。

(题目有误，应改为“若B A ∈，且B C ⊆，则C A ∈”)B A ∈∧BC ⊆B A ∈∧∀x( x ∈A→x ∈φ) ∀x(┐(x ∈A∨0) ┐∃x (x ∈A)A=φ10. 设A, B 和C 是任意集合. 证明或否定下列断言: (1) 若A B ∉, 且B C ∉, 则A C ∉答: 此断言不正确。

例如当A ={a }, B ={a ,b }, C ={{a },c }时, 有A B ∉和B C ∉, 但A C ∈ (2) 若A B ∈, 且B C ∉, 则A C ∉答: 此断言不正确。

例如当A ={a }, B ={{a },b }, C ={{a },c }时, 有A B ∈和B C ∉, 但A C ∈ (3) 若A B ⊆, 且B C ∉, 则A C ∉答: 此断言不正确。

例如当A ={a }, B ={a ,b }, C ={{a },c }时, 有A B ⊆和B C ∉, 但A C ∈ (4) 若A B ⊂, 且B C ∉, 则A C ∉答: 此断言不正确。

例如当A ={a }, B ={a ,b }, C ={{a },c }时, 有A B ⊂和B C ∉, 但A C ∈11. 证明：当且仅当A ⊆∅A =∅证：必要性. 因为和同时成立A ⊆∅A ∅⊆，所以A =∅. 充分性. 因为空集是任何集合的子集, 而A =∅, 所以 A ⊆∅12. 确定下列哪些集合是相等的: A 1={a ,b } A 2={b ,a } A 3={a ,a ,b } A 4={a ,b ,c }A 5={x |(x -a )(x -b )(x -c )=0} A 6={a ,b ,d } A 7={x |{x 2-(a +b )x +ab =0} 答: A 1, A 2, A 3, A 7相等, A 4与A 5相等.13. 设n 个集合A 1, A 2,…A n 满足关系12...n 1A A A ⊆⊆⊆⊆A . 证明: A 1= A 2=…= A n . 证: 对任意的从条件我们得到2i n ≤≤1i A A ⊆和1i A A ⊆, 所以我们有1i A A =, 因此A 1= A 2=…= A n .习题3.21. 设全集U ={a,b,c,d,e}, A={a,d} B={a,b,c}, C={b,d}. 求下列各集合:(1) A B C (2) A B C (3) A B C (4)()()A B ρρ- (5) (6) ()(A B B C -- )()A B C ⊕(7) ()A B C ⊗解：(1) {}A B C a = (2) A B C U = (3) {,}A B C b d = (4)()(){{},{,}}A B d a d ρρ-=(5) ()(){,,A B B C a c d --= }}}(6) (){,A B C b d ⊕= (7)(){,,A B C a d e ⊗=2. 设A , B 和C 是集合，试把A B C 表示成各不相交的集合之并. 解：()()A B C A B A C A B =3. 设A , B 和C 是集合.(1) 若A B A C = ，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？答：不一定。

例如当Ａ＝Ｕ时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。

(2) 若A B A C = ，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？答：不一定。

例如当时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。

A =∅(3) 若A B A C ⊕=⊕，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？ 答：一定。

证明如下：①若，则A =∅A B ⊕=∅和，从而Ｂ＝Ｃ.A C ⊕=∅②若和A ≠∅B =∅, 则A B AC ⊕=⊕等价于A A C A C =- , 若x A ∈, 则x A C ∉, 因为x A ∈, 所以x C ∉, 说明A C =∅ , 并且A A C = , 从而 C =∅③若并且A ≠∅B ≠∅, 条件A B A C ⊕=⊕等价于A B A B A C A C -=- , 则()()x B x B x A x B x A ∈⇒∈∧∈∨∈∧∉()()x A x A B A B x A ⇒∈∧∉-∨∉ x A B A B ∧∈- ()()x A x A C A C x A x A C A C ⇒∈∧∉-∨∉∧∈- ()()x A C x A C x A x A C ⇒∈∧∈∨∉∧∈x C ⇒∈ 从而B C ⊆同理可证C B ⊆因此B C =4. 设, 试计算: {{,},{,},{,},}a b b c a c A =∅(1)(2) A A(3) {}A(4) {}A解: (1) {,,}a b c A = (2)A =∅ (3) {}{{,,}}{,,}a b c a b c A == (4) {}{}A =∅=∅5. 求下列集合的幂集： (1) {{}}∅解:({{}}){,{{}}}ρ∅=∅∅(2) {,,}a b c 解:({,,}){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}a b c a b c a b a c b c a b c ρ=∅(3)}}{},,{{c b a 解：}}}{},,{{}},{{}},,{{,{}}){},,({{c b a c b a c b a ∅=ρ (4){,{},{{}}}∅∅∅解:({,{},{{}}}){,{},{{}},{{{}}},{,{}},{,{{}}},{{},{{}}},{,{},{{}}}}ρ∅∅∅=∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅(5) {,,}a b b 解:({,,}){,{},{},{,}}a b b a b a b ρ=∅6. 判断下列哪些运算结果是对的, 那些是错的: (1)(2)(3) {}∅∅=∅ {}∅∅=∅ {}{,{}}{}∅∅∅=∅(4) (5){{,{}}{}{,{}}∅∅-∅=∅∅,{}}{{}}∅∅-∅=∅(6){,{}}{{}}{}∅∅-∅=∅答: (1),(3)和(6)是对的, (2),(4)和(5)是错的.习题3.31. 证明下列各式： (1)()A B A -=∅ 证：()A B A A B A A A B -=== ∅ (2)()A B A A B -= 证：()()()()()A B A A B A A B A A A B U A -==== B ) (3)()()(A B C A B A C -=-- 证：()()(()(()()A B C A B C A B C A B A C A B A C -====-- (4)()()(A B C A B A C -=-- )证：()()(()(()()A B C A B C A B C A B A C A B A C -====-- (5)()A B C A B C --=- )证：()())A B C A B C A B C A B C --===-2. 证明下列条件是相互等价的：(1) A B ⊆ (2) A B U = (3) A B =∅证：若(1)成立，即A B ⊆，则有A B ⊇，A B B B U ⊇= ，则A B U = ，得(2). 若(2)成立, 即A B U = , 则A B =∅ , 即A B =∅ , 得(3). 若(3)成立, 即A B =∅ , 则, 从而A B -=∅A B ⊆, 得(1). 因此(1),(2)和(3)是相互等价的.3. 证明: 当且仅当()()A B B A B B -=- B =∅ 证:必要性.若()()A B B A B B-=- , 由于()(()()()A B B A B B A B B B A B -=== ,()()A B B A B B A B A B -===- 则有A B A B =- , 假设, 则至少有一个, 显然B ≠∅a B ∈a A B ∈ 和, 这与a A B ∉-A B A B =- B A 矛盾, 因此. B =∅充分性. 当时, 有B =∅()A B -和()A B B A -== , 所以()A B ((A B ()A B B - )(()C A B -B -=证毕.4. 化简下列各式:(1) ))B -- )((C A )()C A B C -解: ()()(()A B C A B C A C B C A B 原式=()()A B A B = =A(2)(()())((())A B C A B A B C -- )A 解: A ()((B A A B A A A =-==- 原式A B A B = (3) ()()()A B C A B C A B C解: ()()(())()A ()C A B C A A B C A A C === 原式=A B()A B C =5. 给出下列公式成立的充分必要条件，并加以证明： (1) ()()A B A C A -- 证:由于()()()()A B A C A B A C A B C--== =, 因此的充分必要条件是()()A B A C A -- A B C ⊆(2) ()()A B A C --= ∅证:由于()()()()A B A C A B A C A B C--== ∅, 所以等价于()()A B A C --= A B C =∅ , 等价于()A B C =U 等价于A B C ⊆ A B , 即()()A C --=∅ 的充分必要条件是A B C ⊆ .(3)()()A B A C A -- ==证: 等价于()()A B A C A -- ()(A B A C A = , 等价于A B C A = , 所以的充分必要条件是()()A B A C A --= A B C ⊆(4)()()A B A C --= ∅∅证: 等价于()()A B A C --= A B C =∅ 等价于A B C U = , 所以的充分必要条件是()()A B A C --=∅ A B C ⊆(5)A C AB A =-⊕-)()(证：由于)()(()()(C B A C A B A C A B A ⊕=⊕=-⊕- 所以使上式成立的充分必要条件是C B A ⊕⊆.充分性. 若C B A ⊕⊆, 则A C B A =⊕)( , 即A C A B A =-⊕-)()( 必要性. 若A C A B A =-⊕-)()(, 即A C B A =⊕)( , 则)()(C B x C B A x A x ⊕∈⇒⊕∈⇔∈ , 从而C B A ⊕⊆ (6) ()()A B A C -⊕-=∅证:由于)(()()()(C B A C A B A C A B A ⊕=⊕=-⊕- ,所以使的充分必要条件是()()A B A C -⊕-=∅A B C ⊇⊕(7) A B A B =证: 使A B A B = 的充分必要条件是A B =必要性. 假设A B ≠, 不妨设有一个元素,a A a B ∈∉但, 则,a A B a A B ∈∉ 但与A B A = B 矛盾.充分性. 当A B =时, 显然有A B A B = (8) A B B -=证: A B B -=的充分必要条件是A 和B 均为空集.充分性显然成立.必要性. 反证, 若A 不是空集, 则有一个元素a A ∈, 若a B ∈, 则, 这与a A B ∉-A B B -=矛盾, 若, 则, 也与a B ∉a A B ∈-A B B -=矛盾. 故A 必须是空集.若B 不是空集, 则有一个元素b , 由B ∈A B B -=知b A ∈, 则b A B ∉-, 这与A B B-=矛盾, 故B 必须是空集. (9) A B B A -=-证: A B B A -=-的充分必要条件是A =B . 充分性显然.必要性. 反证. 假设A B ≠, 不妨设有,a A a B ∈∉但, 则,a A B a B A ∈-∉-但, 这与A B B A -=-矛盾. (10) A B A ⊕=证: A B A ⊕=的充分必要条件是B =∅充分性显然.必要性. 反证. 假设B 不是空集, 则有b B ∈, 若b A ∈, 则b A B ∉⊕, 与A B A ⊕=矛盾, 若b , 则,与A ∉b A B ∈⊕A B ⊕=A 矛盾, 所以B 必须是空集.6. 证明下列各式: (1) ()A A B A B =证: ()()()()A A B A A A B U A B A B == = (2) ()A A B A B =证: ()()()()A A B A A A B A B A B ==∅ =10习题3.41. 对100名学生阅读3种杂志的情况进行调查, 结果发现: 60人阅读甲类杂志, 50人阅读乙类杂志, 50人阅读丙类杂志. 阅读其中两种杂志的人数均为30, 三种杂志都阅读的人数为10.试求:(1) 阅读并且只阅读两种杂志的人数 (2) 不阅读任何杂志的人数.解: 设A 表示阅读甲类杂志的学生集合, B 表示阅读乙类杂志的学生集合, C 表示阅读丙类杂志的学生集合.则|A |=60, |B |=50, |C |=50,||||||30,||A B A C B C A B C ==== (1)|()()()|||||||A B A C B C A B A C B C =++ (|()()||()()||()()|)|()()()|A B A C A B B C A C -++ B C A B A C B C + =30+30+30-30+10=70阅读并且只阅读两种杂志的人数是70-10=60.(2) ||||||||(||||||)||A B C A B C A B A C B C A B C =++-+++=60+50+50-(30+30+30)+10=80所以不阅读任何杂志的人数是100-80=20.2. 某班学生80人, 有30人参加日语考试, 42人参加法语考试, 25人两门考试均没参加. 问有多少学生参加了两门考试?解: 设A ={x |x 参加日语考试}, B ={x |x 参加法语考试}.|A |=30, |B |=42, 25||=B A , 17)2580(4230||||||||=--+=-+=B A B A B A 有17人参加了两门考试.3. 试求1到200之间能被2, 3, 5或7整除的整数个数. 解: 设,{|,1200}S x x I x =∈<<12{|,2},{|,3}A x x S x A x x S x =∈=∈是的倍数是的倍数34{|,5},{|,7}A x x S x A x x S x =∈=∈是的倍数是的倍数则我们要求 ||4321A A A A 根据容斥原理我们知道123412341213142324341231241342341234||||||||||(||||||||||||)(||||||||)||A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =+++-+++++++++-容易得到|A 1|=99, |A 2|=66, |A 3|=39, |A 4|=28, |A 1∩A 2|=33, |A 1∩A 3|=19, |A 1∩A 4|=14, |A 2∩A 3|=13, |A 2∩A 4|=9, |A 3∩A 4|=5, |A 1∩A 2∩A 3 |=6, |A 1∩A 2∩A 4 |=4, |A 1∩A 3∩A 4 |=2, |A 2∩A 3∩A 4 |=1, |A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩A 4 |=0则|A 1∪A 2∪A 3∪A 4 |=(99+66+39+28)-(33+19+14+13+9+5)+(6+4+2+1)=153所以1到200之间能被2, 3, 5或7整除的整数有153个。