第2节一阶微分方程2。

1变量已经分离的方程(i ）辨认类型：()()p y dy q x dx =(ii ）解法：两边积分得通解()()p y dy q x dx C =+⎰⎰（解析：（1）这是隐函数的通解；（2）任意常数已经单独写出，做不定积分时不需写任意常数.）2.2可分离变量的方程(i ）辨认类型：(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=可变型为（ii ）解法：（a)变型为变量已经分离的方程(,,)0()()F x y y p y dy q x dx '=→=变型；(b ）两边积分得通解()()p y dy q x dx C=+⎰⎰以上解方程的方法称为分离变量法.方法虽然简单，但是，分离变量法是微分方程解法的总根。

不管什么方程最后都分离变量求通解。

【例2.1】解方程21d0x y x y.解、原方程0+=分离变量为=。

两边积分C'=-+⎰通解C=【例 2.2】 求方程22(1)d (1)d 0x y x y x y满足初始条件0x y的特解．解、原方程()()22110x y dx y x dy +++=分离变量为2211y xdy dx y x =-++。

两边积分()()22222221111ln 1ln 12211C y xdy dx C y x y x C e y x ''=-+++'+=-+++=+⎰⎰ 通解()()22211(0)C y x C C e'++==>把()0,0代入通解得1C =。

所求特解为()()22111y x ++=2.3可化为可分离变量型的方程 2。

3.1齐次方程（i ）辨认类型:y y x ϕ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ii ）解法：（a ）作变量代换yu x=即y xu =（u 为新的未知函数，u 出来了y 也就有了）。

y u xu ''=+方程变为()u xu u ϕ'+=（b ）分离变量()11du dx u u xϕ=-两边积分()1ln du x C u u ϕ=+-⎰代回u 得通解()1ln yu xdu x C u u ϕ=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰【例2。

3】 求解22d d y xy xx y ．解、(只有方程没有条件即要求通解。

）原方程22dy xy dx x y =+变型为21y dy x dx y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

作变量代换,y dy du u u x x dx dx ==+，方程变为 21du uu x dx u+=+ 分离变量3111du dx u u x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭两边积分21ln ln 2u x C u-+=-+ 代回u 得通解22ln 2x y Cy-=【例2。

4】 求22()d 2d 0x y x xy y 满足初始条件11x y的特解．解、原方程()2220x y dx xydy -+=变型为212y dy x y dx x⎛⎫- ⎪⎝⎭=。

作变量代换,y dy du u u x x dx dx==+，方程变为 212du u u x dx u-+=分离变量2211u du dx u x=-+ 两边积分()2ln 1ln u x C '+=-+代回u 得通解()22ln ln x y x C '+=+即22x y Cx +=（sgn 0C C e x '=≠。

）把()1,1代入上通解得2C =。

所要求的特解是222x y x+=【例2.5】 求解第1节例1。

2中方程22y xxy．解1、原方程y'=变型)2,yx y y y y x-'''===。

作变量代换,y dy duu u xxdx dx==+，方程变为 1du u x dx u+=分离变量1dx x=两边积分21ln 2x C=+22212112ln 12ln 1u wt tdtt t t ==--+=--=-⎰代回u 得通解ln 1ln x C--=+解2、原方程y '=变型dx xdy y =+y 作自变量，x 作函数）.作变量代换,x dx du u u y y dy dy ==+,方程变为duu yu dy +=+ 分离变量1dy y=两边积分(ln ln u y C '=+代回u 得通解ln ln y y C x ⎛ '+=+ ⎝y Cy x += (此例告诉我们，y 和x 用哪个作函数哪个作自变量是人为的，看怎么简单而定。

)2.4一阶线性微分方程（i)辨认类型：()()()0dyP x y Q x dxdyP x y dx+=+=非齐次的齐次的（ii ）解法：先解齐次方程()0dyP x y dx+=.分离变量1()dy P x dx y =-。

两边积分得()0dyP x y dx+=的通解()P x dxy Ce -⎰=。

再解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=. 把()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=中的任意常数C 改为新的未知函数u ,设()()dyP x y Q x dx+=的解为()P x dx y ue -⎰=(这称为常数变异法）。

()()()P x dxP x dx dy du e P x ue dx dx--⎰⎰=- 代入()()dyP x y Q x dx+=变为 ()()()()()()P x dxP x dx P x dx du e P x ue P x ue Q x dx---⎰⎰⎰-+= ()()P x dx duQ x e dx⎰= ()()P x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰所以()()dyP x y Q x dx+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ （任意常数已单独写出,做不定积分是不写任意常数.)为了避免复杂的推导，一般把上式默写下来作为()()dyP x y Q x dx+=通解公式来应用。

因此， 求非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=通解的方法：(1）求不定积分()P x dx ⎰；（2）把()P x dx ⎰的结果代入求不定积分()()P x dxQ x e dx ⎰⎰；（3）把()P x dx ⎰和()()P x dxQ x e dx ⎰⎰的结果代入公式()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰直接得到()()dy P x y Q x dx +=的通解。

【例2。

6】 解方程32(1)1y yxx.解、要解的方程是一阶线性方程()32(),()11P x Q x x x =-=++.()()()()()222211()ln ,,1111P x dx P x dx P x dx dx e e x x x x -⎰⎰=-===++++⎰⎰,()()32211()(1)21P x dx Q x e dx x dx x x x ⎰=+=++⎰⎰。

通解 ()22112y x x x C ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭【例2。

7】 求3d ()d 0(0)y x x y y y．解、如果把y 作未知函数，则方程为30dy ydx x y +=-。

它不是线性方程，我们也不认识它的类型。

如果把y 作自变量x 作未知函数,则方程为21dx x y dy y+=。

此是一阶线性方程.()()2111(),(),()ln ,,P y dy P y dy P y Q y y P y dy dy y e y e y y y-⎰⎰======⎰⎰，()24sgn ()4P y dyy Q y e dy y y dy y ⎰==⎰⎰.通解 41sgn 4y x y C y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即314C x y y =+(此例说明，y 和x 用哪个作函数哪个作自变量结果简繁是不一样的。

一般用简单的作函数,用复杂的作自变量。

）【例2.8】 在高空跳伞的过程中，设跳伞者（含降落伞）的质量为m ，在跳伞的下落过程中，跳伞者除受到重力的作用外,还受到空气阻力的作用，阻力大小与下降速度成正比。

设降落伞离开跳伞塔时（0t）的速度为0，求降落伞下落速度与时间的函数关系。

解、设下降速度为()v t ,这是未知函数。

先作受力分析.重力mg ，阻力kv -（大小与速度成正比，方向与速度相反）。

加速度dvdt。

根据力学原理建立微分方程dvmmg kv dt=-，即 dv kv g dt m += 这是一个线性方程.(),()kP t Q t g m==。

()()(),,()k k k t t t P t dt P t dt m m mk mg P t dt t e e Q t e dt g e dt e m k ⎰⎰====⎰⎰⎰。

通解 k kt t mm mg v e e C k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即k t m mgv Ce k -=+ 把(0)0v =代入得mgC k=-。

降落伞下降的规律1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭2。

5伯努利方程 （i ）辨认类型：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠。

（0α=线性方程，1α=可分离变量.所以0,1α≠。

） (ii ）解法：整理1()()dyy P x y Q x dxαα--+=.与线性方程的差别主要在1y α-。

作变量代换1y u α-=，()1dy duy dx dxαα--=.代入之 ()()1()1()duP x u Q x dxαα+-=- 这是线性方程.通解为()()()1()1()1()P x dx P x dx u e Q x e dx C ααα---⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰ ()()dyP x y Q x y dxα+=的通解 ()()()1()1()11()P x dx P x dx y e Q x e dx C αααα----⎛⎫⎰⎰=-+ ⎪⎝⎭⎰【例2.9】 求方程23d ed x y xy y x的通解．解、整理232x dyy xy e dx----=-。

作变量代换2y u -=，32dy duy dx dx--=。

代入之 222x duxu e dx -+= 2()2()2,()2,(),()2P x dxx P x x Q x e P x dx x Q x e dx x -⎰====⎰⎰.()22x u e x C -=+原方程的通解()222x y e x C --=+习题讲解1．用分离变量法求下列方程的通解：（3）2d e d yxyx x（4)d e (1)1d y yx解、（3)分离变量2y x e dy xe dx --=.两边积分得221124y x x e xe e C ---'-=--+.通解21124y x e x e C --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）分离变量1y ye dy dx e=-.两边积分得ln 1ye x C -'-=-+. 通解1ln1xy Ce -=+（本来0C C e '=±≠,但是，经验证0y =也是原方程的解，取消0C ≠的限制。