为终点的向量，
过M1 , M2各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段M1M 2 为对角线的
长方体.
20

以i
,
j,
k 分别表示沿x,
z
y,
za轴正a向xi的 单ay位j 向a量zk.
R
向向 向

M2
量量 量
x
k M1
P
o
j
i
Q
在
x
N
y
轴 上
的
ax x2 x1 投
aab{ax{,aax
y,
az },
bx
,
a
y

b by ,
{bx ,
az

by , bz }
bz },

a

b
(ax {ax
bx )i (ay by ) bx ,ay by , az
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
7
二、向量的加减法
[1]
加法： a

b

c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若

a‖
a b
b
分为同向和反向
c | c || a
|

|
b
|
b a
c
|
c
，使
b

a.
11
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | a0
|
a a
|

a
0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
12
13
一、空间两向量的夹角的概念：
向量aa与0,向量bb的0,夹角
3
二、空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
4
5
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1向为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1
M
0 2
零向量：模长为0的向量. 0
6
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a

b 负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a 2a 1 a 2
10
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a

(a

b)

a


b
两个向量的平行关系
定理
设向量
a

0，那末向量
b
平行于
a
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
b

a


(a,
b)

(b,
a
)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
14
空间一点在轴上的投影
A
过点A 作轴u的垂直
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
15
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u 上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
16
向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
关于向量的投影定理（1）
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
c

a

(b)
a
a

b

a

b
9
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, a与a 同向，| a | | a |
(2) 0,
a

0
(3) 0, a与a 反向，| a || | | a |
1
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向x 轴以 角
2
度转向正向y 轴
时，大拇指的指向
就是z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
2
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
19
二、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标
设a 是以M1( x1 , y1 , z1 )为起点、M2 ( x2 , y2 , z2 )
在 y 轴 上 的 投
在z
轴 上 的 投
a y y2 y1 az z2 z1 影 影 影



M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
21
按基本单位向量的坐标分解式：



M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
|
|
a
|

|
b
|
8
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a

b

b

a.
（2）结合律：
a

b

c

(a

b)

c
a

(b

c).
（3）
a

(a)

0.
[2]
减法
a

b

a

(b)

a

b
b
b
b c
a
b
证
B
A
B
ABPr ju AB Pr ju ABu u
| AB | cos
17
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
c

a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
18
关于向量的投影定理（2）

在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk ,
向量的坐标： ax , a y
向量的坐标表达式：
, a
az
, {a
x
,
ay,
az }
M1M2 { x2 x1, y2 y1, z2 z1}
特殊地：OM {x, y, z}
22
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式