2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷
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2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷
一、填空题（共14题，共70分）
1．已知集合A＝{x|x
2
﹣2x≤0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝ {1，2} ．
2．设复数（其中i为虚数单位），则|z|＝ ．
3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 25 ．
4．顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 y
2
＝16x ．
5．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，
若直线l
1∥l2
，则m＝ ﹣2 ．
6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列
的概率是 ．
7．若实数x，y满足条件，则z＝3x+2y的最大值为 13 ．
8．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为
原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝ ﹣ ．
9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C
1
上的任意一点，则三棱锥B﹣ECF的体积为 ．
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10．等比数列{an}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，则公比q＝ 2或 ．
11．记集合A＝[a，b]，当θ∈[﹣，]时，函数f（θ）＝2θ的
值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则b﹣a的最小值是 3 ．
12．已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤
f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是 [﹣1，﹣] ．
13．过直线l：y＝x﹣2上任意一点P作圆C：x2+y
2
＝1的一条切线，切点为A，若存在定点
B（x0，y0），使得PA＝PB恒成立，则x0﹣y0＝ 2± ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A（2，1），B（1，﹣2），C（3，﹣1），点P（x，
y）满足（•）×（•）＝﹣1，则的最大值为 ．
二．解答题（共6小题，共90分）
15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD，PB⊥
PD，平面PBD⊥底面ABCD．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：PD⊥平面PAB．
16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，．
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（1）若C＞B，且cos（C﹣B）＝，求角C；
（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．
17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为4，左准线l
的方程为x＝﹣4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l
1过椭圆E的左焦点F1
，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝，求直
线l
1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G（，0），求证：A1
，B，G
三点共线．
18．某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，
宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，
D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段
PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点
M，再沿着圆弧轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接
着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装
置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．
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（1）试将l表示为α的函数l（α），并写出α的取值范围；
（2）求l最小时cosα的值．
19．已知函数f（x）＝lnx+a（x
2
﹣x）（a∈R）．
（1）当a＝0，证明：f（x）≤x﹣1；
（2）如果函数f（x）有两个极值点x
1，x2（x1＜x2），且f（x1）+f（x2
）＜k恒成立，求
实数k的取值范围；
（3）当a＜0时，求函数f（x）的零点个数．
20．已知n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an+1﹣a1；数列{bn}的前n项和为Tn，
且满足T
n+bn＝n+，b4＝4，且a1＝b2
．
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）求数列{b
n
}的通项公式；
（3）设cn＝，问：数列{cn}中是否存在不同两项ci，cj（1≤i＜j，i，j∈N*），使c
i+cj
仍是数列{c
n
}中的项？若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．
【选做题】（3选2，每题10分）
21．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，1）在矩阵M＝对应的变换下得到点Q（y
﹣2，y），求M﹣1．
22．已知曲线C1的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴
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建立平面直角坐标系，曲线C
2的参数方程为，（α为参数），求曲线C1
与曲
线C
2
交点的直角坐标．
23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|的最小值为k，且a+b+c＝k，求a2+b2+c
2
的最小值．
【必做题】（每题10）
24．22．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为y
2
＝2px（p＞0）．
（1）若直线y＝﹣x+1与抛物线相交于M，N两点，且MN＝2，求抛物线的方程；
（2）直线l过点Q（0，t）（t≠0）交抛物线于A，B两点，交x轴于点C，如图，设＝
m，＝n，求证：m+n为定值．
25．我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）
2n
＝
（1+x）n（1+x）n可得，等式左边xk的系数为（0≤k≤n），等式右边xk项系数为
，所以我们得到组合数恒等式：
＝．
（1）化简：（）2+（）2+（）2+…+（）2+）2；
（2）若袋中装有n（n∈N*）个红球和n个白球，从中一次性取出n个球．规定取出k（0
≤k≤n）个红球得k2分，设X为一次性取球的得分，求X的数学期望．