1.4全等三角形教学目标1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．教学重点全等三角形的性质．教学难点找全等三角形的对应边、对应角．教学过程一、三角形全等的概念如果我们把两张纸重叠起来，同时得到两个三角形，你能发现这两个三角形有什么特征吗？我们发现：这两个三角形的形状、大小完全一样，我们把这两个图形放在一起，他们能够完全重合，像这样的图形，我们就称为是全等形.概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的三角形叫做全等三角形.将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ．甲DCABFE 乙DCAB 丙DCABEC 1B 1CABA 1议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难看出△ABC 和△DEF ，△ABC 和△DBC ，△ABC 和△AED 都是全等三角形.我们把两个三角形全等记作：△ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．二、三角形全等的性质甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．例1：如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．D CABO例2：如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．DCABE根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，•然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．AB C D E （第4题） ACFEDA O DBC （第1题）A B F ED C ABECD例3：已知如图△ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）DC ABEO1．如图，已知△ABC≌△DCB，且AB=DC ，则∠DBC 等于（ ） A ．∠A B．∠DCB C．∠ABC D ．∠ACB2．已知△ABC≌△DEF，AB=2，AC=4，△DEF 的周长为偶数，则EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=65°，DE=18㎝，则∠F=___°，AB=____㎝． 4．如图，△ABC 绕点A 旋转180°得到△AED，则DE 与BC 的位置关系是___________，数量关系是___________． 5．把△ABC 绕点A 逆时针旋转，边AB 旋转到AD ，得到△ADE，用符号“≌”表示图中与△ABC 全等的三角形，并写出它们的对应边和对应角．6．如图，把△ABC 沿BC 方向平移，得到△DEF ．求证：AC ∥DF 。
7．如图，△ACF ≌△ADE ，AD =9，AE =4，求DF 的长．1.5 全等三角形的判定(SSS)1、只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•你可以画出多少三角形呢？画出的三角形一定都全等吗？2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为3cm．②三角形两内角分别为30°和50°．③三角形两条边分别为4cm、6cm．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：1．只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．①3cm3cm3cm30︒30︒30︒②50︒50︒30︒30︒③6cm4cm4cm6cm可以看出来当只给出一个条件或两个条件时，我们不能保证画出来的三角形都是全等三角形，那么如果给出来三个条件时，又会有怎样的结果呢？给出三个条件时有下面四种情况：三条边、三内角、两边一内角、两内角一边，我们先来探索第一种情况.请按照下面的方法，用刻度尺和圆规画ΔDEF ，使其三条边分别为 1.3cm ，1.9cm ，2.5cm.画法：1、画线段EF=1.3cm ；2、分别以E 、F 为圆心，1.9cm ，2.5cm 长为半径画两条弧，交于点D ；3、连结DE ，DF ；ΔDEF 就是所求的三角形.按照上述方法你画出了几个三角形，它们有什么关系呢？通过上面的讨论我们有如下判定三角形全等的边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（简写为“边边边”或“SSS ”）用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS ”是证明三角形全等的一个依据．例1：如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．例2：如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？如何利用直尺和圆规作一个已知角的角平分线呢？D CB AFDCBEA按照下面的步骤，我们可以作出来一条直线，求证这条直线即是角平分线.1、以点A 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于E 、F 两点；2、分别以E 、F 为圆心，大于21EF 长的半径； 作圆弧，两条圆弧交于BAC ∠内一点D ； 3、过点A 、D 作射线AD.射线AD 就是所求作的BAC ∠的平分线.根据我们作出的图形，找到已知条件，并证明AD 是BAC ∠的平分线.把两根木条的一端固定在一起，木条会自由转动。
在转动过程中，连结另两个端点所组成的三角形的形状、大小会随之改变.如果把另外两个端点用一根木条固定住，那么构成的三角形的形状，大小就完全确定.这就告诉我们一个生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．ABC1.5 全等三角形的判定(SAS)1、怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？3、上一节我们学习了什么方法来判定三角形全等？除了这个方法，还有没有其它的方法呢？如右图2，AC 、BD 相交于O ，AO 、BO 、CO 、DO 的长度如图所标，那么△ABO 和△CDO 是否能完全重合呢？如果把△OAB 绕着O 点顺时针方向旋转，因为OA ＝OC ，所以可以使OA 与OC 重合；又因为∠AOB ＝∠COD ， OB ＝OD ，所以点B 与点D 重合．这样△ABO 与△CDO 就完全重合．根据这个图形我们来探讨一下判定三角形全等的另一个方法.不难看出，这ΔAOB 和ΔCOD 有三对元素是相等的，从而我们得到：ΔAOB ≌ΔCOD由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，只需要这两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．这就是边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS ”)按下面的步骤画图：①画∠DAE ＝45°，②在AD 、AE 上分别取 B 、C ，使 AB ＝3.1cm ，AC ＝2.8cm ．③连结BC ，得△ABC ． ④按上述画法再画一个△A ＇B ＇C ＇． 观察△A ＇B ＇C ＇与△ABC 是否能够完全重合？任意给出三角形的两条边和一个角，我们画出的三角形是否都全等呢？已知△ABC 中A ∠=︒45，AC=3cm ，BC=2cm ，那么你可以画出怎样的三角形呢？试着画一画.利用边角边定理判定三角形全等时，对应角一定要是对应边的夹角.AO=CO AOB=COD BO=DO ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩DBACl例1：已知：如图，AB ＝AC ，F 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：△ABE ≌△ACF ．例2：已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．例3：直线l ⊥线段AB 于点D ，且AD=BD ，点C 是直线l 上任意一点，证明AC=BC像直线l 这样，垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.(1)如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，要用边角边公理证明△ABC ≌△CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．1.5 全等三角形的判定(ASA 或AAS)有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？请用量角器和刻度尺画ΔABC ，使BC=3cm ，∠B=︒40，∠C=︒60.根据要求我们只能画出一个三角形，由此我们得到角边角定理：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写为“角边角”或“ASA ”）在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA ”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？例1：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？DCABFE由此我们得到角角边定理：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）．例2:如图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．D CABE。