viwi aij v j aik wk jkv j wk v j w j vi wi
例二： 张量与矢量点积
v w vi wi
无自由指标为标量
T v Tij v j
一个自由指标为矢量
Tijvj aik a jlTkla jmvm aik lmTklv m aikTklv l
2、洛伦兹变换为复四维空间的转动变换 与转动变换不变
洛伦兹变换下间隔为不变量，即：
量表示形式不同
2 x2 2 x3 2 c2t2 x12 x22 x32 c2t 2 x1 ict 定义：x4 ict , x4
2 x1
x3 x4 x2
例如：速度、加速度、力、电场强度、 ▽算符等。
•
aik a jlTkl Tij 方式变换的具有9个分量的物理量，记为 T。
二阶张量：空间转动变换下按
例如：应力张量，电四极矩张量等。
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使用自由指标判断物理量 标量：没有自由指标，又称为零阶张量； 矢量：一个自由指标，又称为一阶张量； 张量：两个自由指标，又称为二阶张量。 例一：两矢量点积
xi aij x j
j 1 3
不变量
(i 1, 2,3)
2 2 x x i i i 1 i 1
3
3
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aij aik jk (1)
3 aij aik jk i 1
（1）与（2） 为正交条件
写成矩阵
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( x1 i x4 ) x1 x2 x2
a x x
x3 x3 (i x1 x4 ) x4
x1 x2 0 x3 0 i x 4 0 0 i x1 x 1 0 0 2 0 1 0 x3 0 0 x4
正交变换条件
cos sin cos aa sin cos sin
sin 1 0 I aa cos 0 1
2、三维空间坐标转动变换 a11x1 a12 x2 a13x3 a11 a12 a13 x1 x1 x1 x2 a21x1 a22 x2 a23 x3 a21 a 22 a 23 x 2 a x 2 x a x a x a x a x x a a 3 31 1 32 2 33 3 31 32 33 3 3
( , v 1 4)
4 4
j k，l，m ，n, 代表1—3 英文小写字母 i，， 希腊小写字母 ，，，，， , 代表1—4
变换表示式： 正交条件为：
a x x
aa I a a aa
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相对论理论的四维形式
时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。 洛伦兹变换是一种线性变换 ,它体现了四维时空的变换关系。 但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变 换？描写物理规律的方程在变换下是否不变？
一、关于正交变换
1、二维平面上坐标系的转动变换
平面上P点的转动变换满足
y
P
x x cos y sin y x sin y cos x 2 y 2 x 2 y 2
y

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x
x
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x cos sin x a11 a12 x y sin cos y a a y 21 22
2 2 2
2 x1
x x x x2 x3 x4 x
2, x2 , x3 , x4 ict) 的“转动”变换
该空间又称为闵可夫斯基空间。
ict x2 , x3 x3 ( x1 t ) x1 x1 x1 i x4 x2 c i ict ic (t 2 x1 ) x4 i x1 i x1 x 4 x4 c
% = aa % aa = I L L L (2)
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二、物理量按空间变换性质分类
• 标量: 空间转动变换中不变的量称为标量。 u u 例如：质量，电荷，空间距离。 • 矢量：空间转动变换中按 vi aij v j i 1,2,3 方式变换的量称为矢量，记为 v 。
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矩 阵 形 式
( x ax) ~ ( x a x)
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四、四维协变量
协变性：在某种变换下数学方程形式保持不变的性质。 洛伦兹协变性：在洛伦兹变换下物理规律的数学方程保持不变 的性质。
1、四维协变量
在洛伦兹变换下具有确定变换性质的物理量。即在变换下方 程不变，方程中同一类物理量按相同形式变换，这样的物理量 统称为四维协变量。 ⑴ 洛伦兹标量：洛伦兹变换下保持不变的物理量 例如：电荷Q，时空间隔，固有长度，固有时间隔，静止质 量m0 ，四维空间的体积元等 固有时间隔dτ为不变量的说明： ds 2 c2 dt 2 dr 2 而间隔dS2为不变量，所以 时间间隔dt 在洛仑兹变换下是一个可变量 dt dt .
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三、洛伦兹变换的四维形式
1、四维空间的转动变换（三维情况的推广）
转动中的不变量：
2 x2 2 x3 2 x4 2 x12 x22 x32 x42 x x xv xv x1
1
v 1
x xv xv x