第一章 计数原理1.3组合1.3.1组合学习目标：1.理解并掌握组合,组合数的概念及意义;2.掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单组合问题学习重点：组合数计算公式以及性质学习难点：组合数计算公式以及性质的应用一 自主学习问题1:(1)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加某天的上,下午活动,有多少种不同的选法?(2)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加一项活动,有多少种不同的选法?问题2:有5名体操运动员参加2008年北京奥运会选拔赛.(1)从中选出3名参加双杠,吊环,鞍马三个单项比赛,每项仅1人,有几种不同的选拔结果?(2)从中选出3名参加吊环比赛,有几种不同的选拔结果?1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅． （2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且 4、组合数的性质（1）：m n n m n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C m n -=，∴n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．组合数的性质（2）：m n C 1+＝m n C +1-m n C二 合作学习例1、计算：（1）47C ； （2）710C ；例2、求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C ．例3、（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．例4、计算：33333333456789C C C C C C C ++++++例5、解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ．三课堂检测1、 计算：391012C C +2、计算01237345610C C C C C +++++3、若231212n n C C -=，则n ＝________.4、若512533204(4)15n n n n C n C A -+++=++，求n 的值．四 课后练习1、已知2n C =10，则n=（ ）A.10B.5C.3D.22、如果436m m C A =，则m=（ ） A.6 B.7 C.8 D.93、r r C C -++1710110的不同值有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4、2222345100___A A A A ++++=5、若x 满足112x 1x 3C 2-+-+<x x C ，则x=6、解关于n 的不等式：46n n C C <7、已知的值为与则n m ,43211+-==m n m n m n C C C第一章计数原理1.3组合1.3.2组合学习目标：能够解决一些组合应用问题学习重点：解决一些组合应用问题及一些简单的组合典型问题学习难点：组合与排列的区分一自主学习引例1、（1）10人互通一次电话，共通多少次电话？（2）10个球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场比赛？（3）从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？（4）从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？引例2、要从12人中选出5人参加一项活动，其中A、B、C3人至多2人入选，有多少种不同选法？二合作学习例1、用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成____ 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．例2、中央电视台1套连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 _____ 种（用数字作答）.例3、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例4、在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？例5、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？三课堂检测1、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为( )A.32B. 36C. 42D.482、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数有（）A . 240种 B. 300种 C. 360种 D. 420种3、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？4、某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法有多少种？5、一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲.乙.丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲.乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲.丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有多少种？6、从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有多少种？四、课后练习1、某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有( )A．10种B．12种C．18种D．36种2、某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（）(A)360 (B)520 (C)600 (D)7203、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A 232B 252C 472D 4844、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）．5、10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有种．6、有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有种7、平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？8、从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有多少种？第一章计数原理1.3组合1.3.3组合学习目标：利用排列组合解决计数问题学习重点：如何有效利用排列组合解决计数问题学习难点：计数问题的分类与解决学习过程：一自主学习引例1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.引例2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻, 共有多少种不同的排法.二合作学习例1、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？例2、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法例3、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.例4、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？例5、有11个工人，其中5人只会当钳工，4人只会当车工，还有甲、乙2人既会当钳工又会当车工．现在要从这11人中选出4人当钳工，4人当车工，一共有多少种选法？三课堂检测1、甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )（A）150种（B）180种（C）300种(D)345种2、2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种3、将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中。

若每个信封放2张，其中标号为1、2的卡片放入同一信封，则不同放法共有________种4、如图将一个矩形分成24个全等的矩形，则从A沿矩形的边走到B的最短走法有多少种？)5、若x∈A则x ∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________6、现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?7、六人站成一排，求(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数8、正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?四课后练习1、3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 288C. 216D. 962、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 60B. 48C. 42D. 363、计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）（A）5544AA（B）554433AAA（C）554413AAA（D）554422AAA4、在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有___种。