i me dAh i ng nt hi rb a rgo o圆锥曲线离心率专题训练　1．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）　A ．[，1）B ．[，1）C ．（0，]D ．（0，]　2．二次曲线时，该曲线离心率e 的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．　3．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ）　A ．[，1）B ．（，1）C ．[，）D ．（0，）　4．双曲线的离心率e ∈（1，2），则k 的取值范围是（ ）　A．（﹣∞，0）B ．（﹣3，0）C ．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）　5．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．　6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e 的取值范围（ ）　A ．B ．C ．D ．　7．已知椭圆x 2+my 2=1的离心率，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）　A ．（0，）B ．（，）C ．（，）D ．（，1）　9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则该椭圆的离心率e 的取值范围t i mn dAh i ng t he n god e t A ．B ．C ．D ．　10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2，AD=1，DC=2x （x ∈（0，1））．以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e 1；以C ，D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则e 1+e 2的取值范围为 （ ）A ．[2，+∞）B ．（，+∞）C ．[，+∞）D ．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c ，离心率为e ，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S ，且S，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．　12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2=60°，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．　13．已知方程x 3+2ax 2+3bx+c=0（a ，b ，c ∈R ）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．　14．已知椭圆上到点A （0，b ）距离最远的点是B （0，﹣b ），则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（1，2）D ．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2的平分线分线段F 1F 2的比为5：1，则双t aan l t h t he ga A．（1，]B ．（1，）C ．（2，]D ．（，2]　17．椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=a ，且a ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）　A．[，1]B ．[，]C ．[，1）D．[，]　18．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）　A ．（0，）B ．（）C ．（0，）D ．（，1）　19．已知直线l ：y=kx+2（k 为常数）过椭圆的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2+y 2=4截得的弦长为L ，若，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．　20．双曲线的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．　21．点A 是抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．22．在椭圆上有一点M ，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．i me h i ng t he n ggo o　23．椭圆+y 2=1上存在一点P ，使得它对两个焦点F 1，F 2的张角∠F 1PF 2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）　A．（0，]B ．[，1）C ．（0，]D．[，1）　24．椭圆（a ＞b ＞0）上存在点P 到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）　A ．（0，1）B ．（0，C ．D ．25．椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．26．设A 1、A 2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．27．已知点F 1、F 2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若A 、B 和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）　A ．（1，1+）B ．（1，）C ．（﹣1，1+）D ．（1，2）　28．如图，已知A （﹣2，0），B （2，0），等腰梯形ABCD 满足|AB|=﹣2|CD|，E 为AC 上一点，且．又以A 、B 为焦点的双曲线过C 、D 、E 三点．若，则双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．29．已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，fo re t A ．B ．C ．D ．30．已知P 为椭圆（a ＞b ＞0）上一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若使△PF 1F 2为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）　A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，）D ．（，+∞）t i me an dAl l t h si nt he i rb ei n ga re go o参考答案与试题解析1．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）　A ．[，1）B ．[，1）C ．（0，]D ．（0，]解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P （x 0，y 0），则，可得．∴|OP|2==+=≥b 2，当且仅当x 0=0时取等号．∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则c ≥b ，∴c 2≥b 2=a 2﹣c 2，化为，解得．又e ＜1，∴．故选B ．2．二次曲线时，该曲线离心率e 的范围是（ ）　A ．B ．C ．D．解：∵m ∈[﹣2，﹣1]，∴该曲线为双曲线，a=2，b 2=﹣m ，∴c=离心率e==∵m ∈[﹣2，﹣1]，∴∈[，]，∴e ∈e an dAth i ng si nt he i rb ei n ga re go od f3．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ）　A ．[，1）B ．（，1）C ．[，）D ．（0，）解：可设椭圆的标准方程为：（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），∵∠OPA=90°，∴点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：，化为x 2﹣ax+y 2=0．联立化为（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，则，解得，∵0＜x ＜a ，∴，化为c 2＞b 2=a 2﹣c 2，∴，又1＞e ＞0．解得．∴该椭圆的离心率e 的范围是．故选：C ．4．双曲线的离心率e ∈（1，2），则k 的取值范围是（ ）　A．（﹣∞，0）B ．（﹣3，0）C ．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）解：∵双曲线的离心率e ∈（1，2），∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k ＜0，∴1＜e 2＜4，1＜＜4，﹣12＜k ＜0，故答案选 Ct i me an dAl l th i ng si nt he i b ei n ga re go od fo rs om e t A ．B ．C ．D ．解：F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），c ＞0，设P （x 1，y 1），则|PF 1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°==，解得x 12=．∵x 12∈（0，a 2]，∴0≤＜a 2，即4c 2﹣3a 2≥0．且e 2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．故选A ．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e 的取值范围（ ）　A ．B ．C ．D ．解：不防设椭圆方程：（a ＞b ＞0），再不妨设：B （0，b ），三角形重心G （c ，0），延长BG 至D ，使|GD|=，设D （x ，y ），则，，由，得：，解得：，．而D是椭圆的内接三角形一边AC 的中点，所以，D 点必在椭圆内部，则．把b 2=a 2﹣c 2代入上式整理得：．即．t i me an dAh i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs om e t 所以，该椭圆离心率e 的取值范围是．故选B ．7．已知椭圆x 2+my 2=1的离心率，则实数m 的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．解：椭圆x 2+my 2=1化为标准方程为①若1＞，即m ＞1，，∴，∴，∴②若，即0＜m ＜1，，∴，∴，∴∴实数m 的取值范围是故选C ．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）　A ．（0，）B ．（，）C ．（，）D ．（，1）解：设椭圆的方程为+=1（a ＞b ＞0），其离心率为e 1，双曲线的方程为﹣=1（m ＞0，n ＞0），|F 1F 2|=2c ，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF 1|+|PF 2|=2a ，而|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，∴|PF 1|=2a ﹣2c ；①同理，在该双曲线中，|PF 1|=2m+2c ；②由①②可得a=m+2c ．t at i me an dAsi nt he i rb ei n ga re g∴＜=＜1，又e 1==，∴==+2∈（，3），∴＜e 1＜．故选C ．9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．解：在第一象限内取点（x ，y ），设x=acos θ，y=bsin θ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acos θ，宽为2bsin θ，内接矩形面积为2acos θ•2bsin θ=2absin2θ≤2ab ，由已知得：3b 2≤2ab ≤4b 2，∴3b ≤2a ≤4b ，平方得：9b 2≤4a 2≤16b 2，9（a 2﹣c 2）≤4a 2≤16（a 2﹣c 2），5a 2≤9c 2且12a 2≥16c 2，∴≤≤即e ∈故选B ．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2，AD=1，DC=2x （x ∈（0，1））．以A ，B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为e 1；以C ，D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则e 1+e 2的取值范围为 （ ）　A ．[2，+∞）B ．（，+∞）C ．[，+∞）D ．（，+∞）解：BD==，∴a 1=，c 1=1，a 2=，c 2=x ，∴e 1=，e 2=，e 1e 2=1但e 1+e 2中不能取“=”，t at i me an dAl l g si nt he i rb ei n ga re go od 令t=﹣1∈（0，﹣1），则e 1+e 2=（t+），t ∈（0，﹣1），∴e 1+e 2∈（，+∞）∴e 1+e 2的取值范围为（，+∞）．故选B ．11．已知双曲线的焦距为2c ，离心率为e ，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S ，且S，则离心率e 的取值范围是（ ）　A．B ．C ．D ．解：直线l 的方程为，即bx ﹣ay ﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离 d 1=，同理得到点（﹣1，0）到直线l 的距离．d 2=，s=d 1+d 2==．由S ，即得•a ≥2c 2．于是得4e 4﹣25e 2+25≤0．解不等式，得 ．由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围是 e ∈．故选A ．12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2=60°，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．由此可得：∵存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2=60°，∴△P 0F 1F 2中，∠F 1P 0F 2≥60°，可得Rt △P 0OF 2中，∠OP 0F 2≥30°，所以P 0O ≤OF 2，即bc ，其中c=∴a 2﹣c 2≤3c 2，可得a 2≤4c 2，即≥∵椭圆离心率e=，且a ＞c ＞0at i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga go od fo rs o m e t ∴故选C13．已知方程x 3+2ax 2+3bx+c=0（a ，b ，c ∈R ）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D．解：设f （x ）=x 3+2ax 2+3bx+c ，由抛物线的离心率为1，可知f （1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a ﹣3b ，所以f （x ）=（x ﹣1）[x 2+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g （x ）=x 2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g （0）＞0，g （1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，则a ，b 满足的可行域如图所示，由于，则P （﹣1，）而表示（a ，b ）到（0，0）的距离，且（0，0）到P （﹣1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+∞）．故答案为：A ．14．已知椭圆上到点A （0，b ）距离最远的点是B （0，﹣b ），则椭圆的离心率的取值范围为（ ）e an dAl l t h i ng si ne i rb ei n ga re go od fo rs om e t A ．B ．C ．D ．解：设点P （x ，y ）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x 2+（y ﹣b ）2===f （y ），∵椭圆上的点P 到点A （0，b ）距离最远的点是B （0，﹣b ），由二次函数的单调性可知：f （y ）在（﹣b ，b ）单调递减，∴，化为c 2≤b 2=a 2﹣c 2，即2c 2≤a 2，∴．又e ＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C ．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．（1，2）D ．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，故其渐近线方程为y=x 则tan α=∵，∴1＜tan α＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B ．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2的平分线分线段F 1F 2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（ ）　A ．（1，]B ．（1，）C ．（2，]D ．（，2]t at i n dAl l t h i ng si nt h解：根据内角平分线的性质可得 =，再由双曲线的定义可得5PF 2﹣PF 2=2a ，PF 2=，由于 PF 2=≥c ﹣a ，∴≥c ，≤．再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e ≤，故选 A ．17．椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=a ，且a ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）　A．[，1]B ．[，]C ．[，1）D．[，]解：∵B 和A 关于原点对称∴B 也在椭圆上设左焦点为F ′根据椭圆定义：|AF|+|AF ′|=2a 又∵|BF|=|AF ′|∴|AF|+|BF|=2a …①O 是Rt △ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csin α …②|BF|=2ccos α …③②③代入①2csin α+2ccos α=2a ∴=即e==∵a ∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin （α+）≤1∴≤e ≤故选B18．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）　A ．（0，）B ．（）C ．（0，）D ．（，1）解：在△PF 1F 2中，由正弦定理得：t i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ere go od fo rs o m e t 则由已知得：，即：aPF 1=cPF 2设点P （x 0，y 0）由焦点半径公式，得：PF 1=a+ex 0，PF 2=a ﹣ex 0则a （a+ex 0）=c （a ﹣ex 0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x 0＞﹣a 则＞﹣a ，整理得e 2+2e ﹣1＞0，解得：e ＜﹣﹣1或e ＞﹣1，又e ∈（0，1），故椭圆的离心率：e ∈（﹣1，1），故选D ．19．已知直线l ：y=kx+2（k 为常数）过椭圆的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2+y 2=4截得的弦长为L ，若，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）　A．B ．C ．D ．解：圆x 2+y 2=4的圆心到直线l ：y=kx+2的距离为d=∵直线l ：y=kx+2被圆x 2+y 2=4截得的弦长为L ，∴由垂径定理，得2，即，解之得d 2≤∴≤，解之得k 2∵直线l 经过椭圆的上顶点B 和左焦点F ，∴b=2且c==﹣，即a 2=4+因此，椭圆的离心率e 满足e 2===∵k 2，∴0＜≤，可得e 2∈（0，]故选：Bt i me an dAl l t h i ng she i rb ei n g a re g o od fo rs o 20．双曲线的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）　A．B ．C ．D ．解：直线l 的方程为+=1，即bx+ay ﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l 的距离.，．由，得．．于是得 5≥2e 2，即4e 4﹣25e 2+25≤0．解不等式，得 ≤e 2≤5．由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围是 ．故选D ．21．点A 是抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于（ ）　A ．B ．C ．D ．解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x ，联立⇒；故A （，）．∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴+=p ；∴=．timeandAllthingstheirbeingaregoodomet ∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（ ）　A．B．C．D．解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，所以…①，在△MF1F2中，由余弦定理可知…②又，…③，由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．所以c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，2c2≥a2，，所以e∈．故选B．23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）　A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①me an dAl l th i ng si nt he i rb a re go od fo rs ∵P （x 0，y 0）在椭圆+y 2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c 2=a 2﹣1代入，得﹣a 2﹣+2=0，所以=，∵﹣a ≤x 0≤a ∴，即，解之得1＜a 2≤2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．24．如果椭圆（a ＞b ＞0）上存在点P ，使P 到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）　A ．（0，1）B ．（0，C ．D ．解：设P （x ，y ），∵P 到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x 2+y 2=4c 2①∵P 在椭圆上，∴②联立①②得，∵0≤x 2≤a 2∴∴∴∴e ∈故选C25．椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△t at i me an dAl l ti nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t A ．B ．C ．D ．解：①当点P 与短轴的顶点重合时，△F 1F 2P 构成以F 1F 2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F 1F 2P ；②当△F 1F 2P 构成以F 1F 2为一腰的等腰三角形时，以F 2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F 1F 2=F 1P ，∴点P 在以F 1为圆心，半径为焦距2c 的圆上因此，当以F 1为圆心，半径为2c 的圆与椭圆C 有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P ，此时a ﹣c ＜2c ，解得a ＜3c ，所以离心率e当e=时，△F 1F 2P 是等边三角形，与①中的三角形重复，故e ≠同理，当F 1P 为等腰三角形的底边时，在e且e ≠时也存在2个满足条件的等腰△F 1F 2P这样，总共有6个不同的点P 使得△F 1F 2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（，）∪（，1）26．设A 1、A 2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）　A ．B ．C ．D ．解：A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），设P （x ，y ），则=（﹣x ，﹣y ），=（a ﹣x ，﹣y ），∵，∴（a ﹣x ）（﹣x ）+（﹣y ）（﹣y ）=0，y 2=ax ﹣x 2＞0，∴0＜x ＜a ．代入=1，整理得（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0 在（0，a ）上有解，令f （x ）=（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，∵f （0）=﹣a 2b 2＜0，f （a ）=0，如图：△=（a 3）2﹣4×（b 2﹣a 2）×（﹣a 2b 2）=a 2（ a 4﹣4a 2b 2+4b 4 ）=a 2（a 2﹣2c 2）2≥0，i me an dAl l th i ng si nt he i rb ei n ge go od fo rs o m e t ＞，又 0＜＜1，∴＜＜1，故选 D ．27．已知点F 1、F 2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若A 、B 和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）　A ．（1，1+）B ．（1，）C ．（﹣1，1+）D ．（1，2）：解：根据双曲线的对称性，得△ABE 中，|AE|=|BE|，∴△ABE 是锐角三角形，即∠AEB 为锐角由此可得Rt △AF 1E 中，∠AEF ＜45°，得|AF 1|＜|EF 1|∵|AF 1|==，|EF 1|=a+c∴＜a+c ，即2a 2+ac ﹣c 2＞0两边都除以a 2，得e 2﹣e ﹣2＜0，解之得﹣1＜e ＜2∵双曲线的离心率e ＞1∴该双曲线的离心率e 的取值范围是（1，2）故选D ．28．如图，已知A （﹣2，0），B （2，0），等腰梯形ABCD 满足|AB|=﹣2|CD|，E 为AC 上一点，且．又以t i me an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o　A ．B ．C ．D ．解：如图，以AB 的垂直平分线为γ轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xO γ，则CD ⊥γ轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于γ轴对称，设c 为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记 ，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为 ，则离心率 ，由点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 坐标和 代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得 ，故 由题设 得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选A ．29．已知椭圆（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）at i me an dt h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m e t A ．B ．C ．D ．解：把x=c 代入椭圆的方程可得，解得．取A ，则B ，∵∠OBF=∠AOF ﹣∠OFB ，，=∴tan α=tan ∠OBF=====，∵，∴，∴．解得．故选A ．30．已知P 为椭圆（a ＞b ＞0）上一点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若使△PF 1F 2为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）　A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，）D ．（，+∞）解：①当PF 1⊥x 轴时，由两个点P 满足△PF 1F 2为直角三角形；同理当PF 2⊥x 轴时，由两个点P 满足△PF 1F 2为直角三角形．∵使△PF 1F 2为直角三角形的点P 有且只有4个，∴以原点为圆心，c 为半径的圆与椭圆无交点，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2=a 2﹣c 2，∴，又e ＞0，解得．故选A ．。