我的高考数学错题本第4章 导数及其应用易错题易错点1．误解导函数与单调区间的关系【例1】()f x '是()f x 在区间[,]a b 的导函数，则“在区间(,)a b 内()0f x '>”是“()f x 在该区间内单调递增”的________条件． 【错解】充要【错因】一般地，由()0f x '>能推出()f x 为增函数，反之，则不一定．如函数3()f x x =在区间(,)-∞+∞上单调递增，但是()0f x '≥，因此()0f x '>是函数()f x 为增函数的充分不必要条件． 【正解】充分不必要【纠错训练】若函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，求实数的取值范围． 【解析】由2()=310f x ax '-≤在R 上恒成立， ∴当0a =时，()10f x '=-<，满足题意；当0a ≠，0120a a <⎧⎨∆=<⎩ ，解得0a <．综上所述，0a ≤．易错点2 ．误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系【例2 】 函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，求,a b 的值． 【错解】由(1)10,(1)0f f '==解得4,113,3a b a b ==-=-=或．【错因】对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把0()f x 为极值的必要条件当作充要条件．【正解】2()32f x x ax b '=++，依题意得(1)10(1)0f f =⎧⎨'=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当411a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-，所以()f x 在1x =处取得极值；当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)f x x x x '=-+=-，此时()f x 在1x =无极值．所以3,3a b =-=．易错点3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚【例3】 已知函数f （x ）的导函数()x f '的图像如左图所示，那么函数()x f 的图像最有可能的是【错解】选,C,B D【剖析】概念不清，凭空乱猜【正解】由导函数的图像，可得：当()()+∞-∞-∈,02, x 时，0)('<x f ，当()0,2-∈x 时，0)('>x f ，且开口向下；则)(x f 在()2,-∞-上递减，在()0,2-上递增，在()+∞,0递减；故选A ．【纠错训练】函数()y f x =的导函数()f x '的图象如右图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）【解析】试题分析：由图像可知导数值先正后负，所以原函数先增后减，只有D 符合．易错点4 ．遗忘复合函数求导公式 【例4】函数1cos x y x e -=⋅ 的导数为 ．【错解】1cos x y e -'=【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即x u x y y u '''=⋅． 【正解】()()1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos x xxx x y e x e exe x e -----'''=+=+-=+1cos sin x xe x -()1cos 1sin x x x e -=+易错点5．切线问题中忽视切点的位置致错【例5】已知曲线x x x f 32)(3-=，过点(0,32)M 作曲线()f x 的切线，求切线方程． 【错解】由导数的几何意义知(0)3k f '==-，所以曲线的切线方程为332y x =-+． 【错因】点(0,32)M 根本不在曲线上，忽视切点位置致错．【正解】设切点坐标为3000(,23)N x x x -，则切线的斜率200()63k f x x '==-，故切线方程为20(63)32y x x =-+，又因为点N 在切线上， 所以30023x x -=200(63)32x x -+，解得02x =-，所以切线方程为y=21x+32．注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上． 【纠错训练】 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ，求函数)(x f y =的解析式； 解析：由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故所求的解析式是.233)(23+--=x x x x f易错点6．忽视极值的存在条件致错【例6】已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1x =处有极值10，求,a b ．分析：抓住条件“在1x =处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得,a b ． ,a b 有两组值，是否都合题意需检验．【错解】2()32f x x ax b '=++， 根据题意可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，解得12124,3,11, 3.a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或． 【错因】极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号． 【正解】2()32f x x ax b '=++， 根据题意可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩，解得12124,3,11, 3.a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或． 而当2233a b =-⎧⎨=⎩时，()22()36331f x x x x '=-+=-，易得此时，()f x '在x=1两侧附近符号相同，不合题意．当11411a b =⎧⎨=-⎩时，()(311)(1)f x x x '=+-，此时， ()f x '在1x =两侧附近符号相异，符合题意．所以4a =，11b =-．易错点7．混淆极值与最值是两个不同的概念致错 【例7】求函数x x x x f +-=232)(在－3，3]上的最值．【错解】()f x '=3x 2－4x+1=（3x －1）（x －1）， 所以极值点为1x =或13x =， 又∵ (1)f =0，14()327f =． 所以函数最大值为427，最小值为0． 【错因】需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值．【正解】()f x '=3x 2－4x+1=（3x －1）（x －1）， 所以极值点为x=1或x=13-， 又∵ (1)f =0，14()327f =，(3)48,(3)12.f f -=-= 所以函数最大值为12，最小值为－48．易错题8．忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错 【例8】函数23()(1)2f x x =-+的极值点是（ ）A ．1=xB ．1-=x 或1=x 或0=xC ．0=xD ．1-=x 或1=x 【错解】22()3(1)2f x x x '=-，即22()6(1)f x x x '=-，由()0f x '=得226(1)0x x -=， ∴x=0或x=±1 故选（B ）． 【正解】由()0f x '=有x=0或x=±1．()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表:故选（C ）易错点9．用错恒成立的条件【例9】 已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求的取值范围． 【错解一】()0f x ≥恒成立，∴△＝24(3)a a --≤0恒成立解得的取值范围为62a -≤≤；【错解二】∵2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，∴(2)0(2)0f f -≥⎧⎨≥⎩，即22(2)2302230a a a a ⎧--+-≥⎪⎨++-≥⎪⎩，解得的取值范围为773a -≤≤．【错因】对二次函数()f x ＝2ax bx c ++“当x R ∈上()f x ≥0恒成立时，△≤0”片面理解为“2ax bx c ++≥0，[2,2]x ∈-恒成立时，△≤0” ；或者理解为(2)0(2)0f f -≥⎧⎨≥⎩．这都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误．二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论． 【正解】设()f x 的最小值为()g a ，（1）当22a-<-，即＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a-∈-，即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－－24a ≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2； （3）22a->，即＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋≥0，得≥－7，又＜－4，故－7≤a ＜－4； 综上，得－7≤a ≤2．【错题纠正巩固】1．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( )A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+【答案】 A【解析】 由2()2(2)88f x f x x x =--+-得几何2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程12(1)y x -=-，即210x y --=选A2．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则等于 ( ) A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．74-或 【答案】A【解析】设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A ． 3．已知对任意实数，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，【答案】B 4．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ） A ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e【答案】 D5．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 （ ）A ．B ．52 C ． D ．32【答案】 C6．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ． 【答案】 37．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ． B ．14- C ． D ．12- 【答案】 A【解析】由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=故选A 8．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解析】因为函数()y f x =的导函数．．．()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数，即在区间[,]a b 上各点处的斜率是递增的，由图易知选A ． 注意C 中y k '=为常数噢． 9．设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = ( ) A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点． B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点． C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点． D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点．y【解析】由题得xx x x f 33131)`(-=-=，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值3ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D ． 10．若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数的取值范围是【解析】由题意该函数的定义域0x >，由()12f x ax x'=+。