B.线段
C.两点
D.两个圆
解析:∵|z|2-2|z|-3=0,
∴(|z|-3)(|z|+1)=0,
∴|z|=3,表示一个圆,故选 A.
答案:A
6.已知在△ABC 中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.
解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,
（2）已知复数 1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；
（3）在复平面内的长方形 ABCD 的四个顶点中，点 A，B，C 对应的复数分别是 2＋3i，3＋2i，－2－3i，求
点 D 对应的复数.
→
→
→
【解】 （1）OM表示的复数为 1＋3i；ON表示的复数为 4－i；OP表示的复数为 2i；
6.复数的模
→→ 复数 z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数 z 的模，记作|z|，且|z|＝
a2＋b2.
注意：复数 a＋bi（a，b∈R）的模|a＋bi|＝ a2＋b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小.
二、典型例题
考点一、复数的概念 例 1、下列命题：
答案:D
2.已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且 M∩N={3},则实数 m 的值为( )
A.4
B.-1
C.-1 或 4
D.-1 或 6
解析:由于 M∩N={3},故 3∈M,必有 m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,
所以得 m=-1.
答案:B
4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
5.复数的两种几何意义
一一对应
（1）复数 z＝a＋bi（a，b∈R）←――→复平面内的点 Z（a，b）.
一一对应
→
（2）复数 z＝a＋bi（a，b∈R）←――→平面向量OZ.
→ OQ表示的复数为－4.
→
→
（2）复数 1 对应的向量为OA，其中 A（1，0）；复数－1＋2i 对应的向量为OB，其中 B（－1，2）；
→
→
复数－3i 对应的向量为OC，其中 C（0，－3）；复数 6－7i 对应的向量为OD，其中 D（6，－7）.
如图所示.
→
→
→
→
→
（3）记 O 为复平面的原点，由题意得OA＝（2，3），OB＝（3，2），OC＝（－2，－3）.设OD＝（x，y），则AD＝（x－2，y
将|z|＝17 代入（*）式得 z＝－15＋8i.
变式训练 6、已知复数 z＝3＋ai（a∈R），且|z|<4，求实数 a 的取值范围. 解：法一：因为 z＝3＋ai（a∈R），所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42，所以 a2<7，所以 a∈（－ 7，7）. 法二：由|z|<4 知 z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以 4 为半径的圆内（不包括边界），由 z＝3＋ai 知 z
是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若 x＝－2，则 x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）
＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选 D.
【答案】 D
变式训练 1、1.对于复数 a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（ ）
A.若 a＝0，则 a＋bi 为纯虚数
2.复数的分类
{ { )) 实数（b＝0）
（1）复数
z＝a＋bi（a，b∈R）
虚数（b
≠
0）
纯虚数a＝0 非纯虚数a ≠ 0
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3.复数相等的充要条件 设 a、b、c、d 都是实数，则 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和 虚部. （2）只有当 a＝c 且 b＝d 的时候才有 a＋bi＝c＋di，a＝c 和 b＝d 有一个不成立时，就有 a＋bi≠c＋di. （3）由 a＋bi＝0，a，b∈R，可得 a＝0 且 b＝0.
3 _____________.
解析：3－ 3i 对应向量为（3，－ 3），与 x 轴正半轴夹角为 30°，顺时针旋转 60°后所得向量终点在 y 轴 负半轴上，且模为 2 3.故所得向量对应的复数是－2 3i.
答案：－2 3i
考点六、复数的模
例 6、（1）设（1＋i）x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋yi|＝（ ）
B.z=2-3i
C.z=3+2i
D.z=-3-2i
解析:A 中|z|=<3;B 中对应点(2,-3)在第四象限;C 中对应点(3,2)在第一象限;D 中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=>3.
答案:D
5.已知复数 z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数 z 对应点的轨迹为( )
A.一个圆
（1）位于第二象限；
（2）位于直线 y＝x 上.
解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i 的点就是点 Z（a2＋a－2，a2－
3a＋2）.
（1）由点 Z 位于第二象限，得
{ ) a2＋a－2 < 0，
a2－3a＋2 > 0，
解得－2<a<1.
故满足条件的实数 a 的取值范围为（－2，1）.
（2）在第三象限.
【解】 （1）若对应的点在实轴上，则有
1 2a－1＝0，解得 a＝ .
2
（2）若 z 对应的点在第三象限，则有
{ ) ( ) a2－1 < 0， 2a－1 < 0.
1 解得－1<a<2.故
a
的取值范围是
1 －1பைடு நூலகம்2
.
变式训练 4、求实数 a 取什么值时，复平面内表示复数 z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i 的点
A.1
B. 2
C. 3
D.2
（2）已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数 z.
【解】 （1）选 B.因为 x＋xi＝1＋yi，所以 x＝y＝1，
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝ 12＋12＝ 2.
（2）法一：设 z＝a＋bi（a，b∈R），
则|z|＝ a2＋b2，
代入原方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
复数
一、考点、热点回顾
1.复数的有关概念 （1）复数 ①定义：形如 a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复 数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部. 注意：复数 m＋ni 的实部、虚部不一定是 m、n，只有当 m∈R，n∈R 时，m、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集 ①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母 C 表示.
（1）纯虚数；（2）实数.
{ ) 解：（1）复数
lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i
是纯虚数，则
lg（m2－2m－7）＝0， m2＋5m＋6 ≠ 0，
解得 m＝4.
{ ) （2）复数
lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i
是实数，则
m2－2m－7 > 0， m2＋5m＋6＝0，
解得
m＝－2
对应的点在直线 x＝3 上， 所以线段 AB（除去端点）为动点 Z（3，a）的集合， 由图可知－ 7<a< 7.
三、课后练习
1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则 2x+y 的值为( )
A.
B.2
C.0
D.1
解析:由复数相等的充要条件知,
x+y＝０，ｘ－１＝０
故 x+y=0.故 2x+y=20=1.
A.1
B.1 或－4
C.－4
D.0 或－4
{ ) 4－3a＝a2，
解析：选 C.易知 －a2＝4a， 解得 a＝－4.
考点二、复数的分类
m（m＋2）
例 2、已知 m∈R，复数 z＝
＋（m2＋2m－3）i，当 m 为何值时，
m－1
（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？
m（m＋2）
【解】 （1）要使 z 为实数，m 需满足 m2＋2m－3＝0，且
（2）由点 Z 位于直线 y＝x 上，得
a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得 a＝1.
故满足条件的实数 a 的值为 1.
考点五、复数与复平面内的向量 → →→ →
例 5、（1）已知 M（1，3），N（4，－1），P（0，2），Q（－4，0），O 为复平面的原点，试写出OM，ON，OP，OQ
所表示的复数；
【解】 （1）由复数相等的充要条件，得
x＋y＝0， y＝x＋1，
解得
2 1
y＝ .
2
{ ) { ) { ) （2）因为
a，m∈R，所以由
a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0，可得
a2＋am＋2＝0， 2a＋m＝0，
解得
a＝ 2， m＝－2 2
或
a＝－ m＝2
2， 2，
所以 a＝± 2.
（3）设方程的实根为 x＝m，
①若 a∈R，则（a＋1）i 是纯虚数； ②若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i>b＋i； ③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i 是纯虚数，则实数 x＝±2； ④实数集是复数集的真子集.