[点评] 在利用直线的特殊形式求直线方程时，常将斜率k 和截距a、b作为待定的系数．求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直 线可设方程为Ax＋By＋m＝0，垂直的直线则可设为Bx－Ay＋n ＝0.这里m、n为待定的系数．
[ 例 2] 已 知 三 角 形 △ ABC 的 顶 点 A(1 ， － 1) 、 B(1,4) 、 C(4，－2)，求三角形的外接圆的方程．
[点评] 注意题目的隐含条件，数形结合是解决此类问题 的捷径．
[例4] 求经过点(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0相切 于原点的圆方程．
[解析]解法一：将圆 C 化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2
＝50，则圆心为(－5，－5)．
∴经过此圆心和原点的直线方程为 x－y＝0.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
平面解析几何初步 第二章
章末归纳总结 第二章
1 知识结构 2 学后反思
3 专题研究 4 课时作业
知识结构
学后反思
用坐标法研究几何问题使我们从抽象的推理中解脱出来， 用坐标的计算替代推理．为我们研究几何问题开辟了一条全新 的道路．
[解析] 解法一：解方程组xx2＝＋－y22＋2x－4y－11＝0 ， 得两交点的坐标为 A(－2,2＋ 15)、B(－2,2－ 15)． 从而圆心 C 的坐标为(－2,2)， 半径 r＝12|AB|＝122＋ 15－2－ 15＝ 15. 因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
解法二：直线 x＝－2 与圆 x2＋y2＋2x－4y－11＝0 的交点 A、B 的横坐标都为－2，从而圆心 C 的横坐标为－2.
[例3] 设有直线l：y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝16，求k为何 值时，直线l被圆O所截得的弦最短？并求出最短弦长；能否求 得k的值，使直线l被圆O所截得的弦最长？
[解析] 解法一：设所截得的弦长为 L， 则 L＝2 16－k2＋9 1. 显然，当 k＝0 时，Lmin＝2 7； 不论 k 取何值，L 均无最大值，故弦长取不到最大值．
本章介绍了解析几何研究问题的基本思路：建立直角坐标 系，求出或设出点的坐标，通过坐标的运算，对方程的研究来 解释几何现象，表述几何问题线的倾 斜角与斜率，直线方程的各种形式，点到直线距离公式和两点 间距离公式．应特别注意直线方程不同形式的适用范围．
后一部分是圆的方程，点、直线、圆与圆的位置关系，要 牢牢把握圆的两种形式方程中各几何量含义，点、直线、圆与 圆位置关系的代数及几何表示．要切实弄清圆的有关几何性 质．
最值问题
解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，最 值问题是各部分内容、各个章节的最重要的题型之一．本章研 究直线与圆中的最值，常用联立方程组，用二次函数的值域及 判别式Δ来解决．
[例5] 求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0 的交点的所有圆中面积最小的圆的方程．
[分析] 过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两点 的连线为直径的圆，因此，只需求出交点，便可确定所求圆的 圆心和半径．
最后介绍了空间直角坐标系和空间两点间的距离公式，解 析几何是数形结合的典范，故学习本章要深刻体会数形结合思 想，自觉运用数形结合方法去分析和解决实际问题．
专题研究
待定系数法的应用
解析几何中求直线方程、求圆的方程是一类重要的问题， 求解此类问题时常使用待定系数法．待定系数法的典型特征， 就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或 全部)是待定的，根据题目所给的条件，列出待定系数所满足的 关系，解方程或方程组即可获解．
解法二：直线 l 过定点 P(0,3)，由平面几何知识知：当直线 l⊥OP 时，l 被⊙O 截得的弦最短，此时，k＝0，最短弦长为 2 16－9＝2 7.
由于当且仅当直线 l 过圆心时，被圆 O 截得的弦(直径)最 长，但此时，直线 l 的斜率不存在，故不存在 k 的值，使直线 l 被圆 O 截得的弦最长．
[例1] 已知直线经过点P(－3,1)，且与两坐标轴围成的三 角形面积为3，试求直线的方程．
[解析] 设所求直线的方程为ax＋by＝1，由题意有
－a3＋1b＝1 12|ab|＝3
，解得ab＝ ＝3－＋1＋3 3
，或ab＝ ＝3－－13－
3 3
.
则直线方程：( 3－1)x＋3( 3＋1)y－6＝0 或( 3＋1)x－3( 3－1)y＋6＝0.
由题意，得00－ －aa22＋ ＋06－ －bb22＝ ＝rr22 ，解得ab＝ ＝33
.
a－b＝0
r＝3 2
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
解法二：由题意，所求圆经过点(0,0)和(0,6)，∴圆心一定 在直线 y＝3 上，又由解法一，知圆心在直线 x－y＝0 上，
由yx＝－3y＝0 ，得圆心为(3,3)． ∴半径 r＝ 32＋32＝3 2， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
[解析] 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点 A(1，
－1)、B(1,4)、C(4，－2)代入，
2＋D－E＋F＝0
D＝－7
得17＋D＋4E＋F＝0 ，解得E＝－3 .
20＋4D－2E＋F＝0
F＝2
∴所求圆的方程为 x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
直线与圆、圆与圆的位置关系
判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手： ①直线与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无 实数解，方程组有几组实数解，直线与圆就有几个公共点，方 程组没有实数解，直线与圆就没有公共点，判断圆与圆的位置 关系时慎用此法；②运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆 位置关系的几何结论转化为相应的代数结论．
设 A、B 的纵坐标分别为 y1、y2，把直线方程代入圆方程， 整理得 y2－4y－11＝0.则 y1＋y2＝4，y1y2＝－11.
∴圆心 C 的纵坐标为y1＋2 y2＝2. 半径 r＝12|y2－y1|＝12 y1＋y22－4y1y2 ＝12 42－4×－11＝ 15. 因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.