不等式
一、基本不等式
1、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．
2、不等式的性质：
①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③
a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >．
3、设a 、b 是两个正数，则
2
a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．4、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即
2a b ab +≥．5、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2
a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()2
22,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭
．6、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．
例：（13-14耀华7）若2-m 与|m |-3异号，则m 的取值范围是
A、m >3
B、-3<m <3
C、2<m <3
D、-3<m <2或m >3
解析：由题.323,03020302><<-∴⎩
⎨⎧>-<-⎩⎨⎧<->-m m m m m m 或或得答案：D
例：（13-14蓟县11）已知实数的最小值为则且、y
x y x R y x 12,1,+=+∈解析：22323))(12(12+≥++=++=+y
x x y y x y x y x 当且仅当222y x =
答案：2
23+二、一元二次不等式
1、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．
2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac
∆=-0∆>0∆=0
∆<二次函数2y ax bx c
=++()0a >的图象
一元二次方程2ax bx +0c +=()0a >的根有两个相异实数根
1,22b x a -±∆=()12x x <有两个相等实数根122b x x a ==-没有实数根
一元二次
不等式的
解集20
ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R
20ax bx c ++<()0a >{}12x x x x <<∅∅
若二次项系数为负，先变为正
例：(12-13南开区17)已知不等式2230x x --<的解集为A，不等式260x x +-<的解集是B．
(I)求A B ；
(Ⅱ)若不等式20x ax b ++<的解集是A B ，求20ax x b ++<的解集．.
,022
1,0240-1(-1,2)0(2)(-1,2)
).
2,3(23-06(-1,3)
,31-032)1(2222R x x b a b a b a b ax x B A B x x x A x x x 解得解集为解得，
的解集是由，得解得解解：<-+-∴⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=++=+∴<++=∴-=∴<<<-+=∴<<<--
3、⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧图像法（数形结合）根的分布分离参数法恒成立问题：分类讨论（因式分解）含参一元二次不等式：例：（13-14红桥区17）解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<．
.
1;11,111;11,1110;110)1)(1(00)1)(1(0;
10 时，不等式的解为当不等式的解为时，当不等式的解为时，当或，不等式的解化为时，原不等是等价于当时，因式分解为当时，不等式解为解：当=<<>><<<<<<><--<>--≠>=a x a
a a a
x a a a
x x x a x a x a
x a a x a 例：（13-14蓟县13)已知一元二次不等式02
122≥+
+kx kx 对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围为解析:400
40,002
1,02≤≤⎩⎨⎧≤-=∆≥≠≥=k k k k k k 得则若，成立；则不等式化为若综上可得4
0≤≤k 答案：[]
4,0例：(12-13南开12)己知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R，则实数m 的取值范围是_________________.
解析：
22,
2064(2)4(2)0
m m m m m ≠-≥⎧<<⎨∆=---<⎩ 不等式为一元二次不等式，则则得2得2<m<6
答案：(2,6)
三、线性规划
1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
3．解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；
（4）验证所求解是否在可行域内。

例：（13-14耀华11）x 、y 满足条件01,02,2 1.x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩
，设224z y x =-+，则z 的最小值是；解析：由题得可行域（阴影部分）：
目标函数可化为：z x y 212+
-=所以在（1,1）处取得最小值为4答案：4。