x
2 1
+
x
2 2
+
+
x
2 n
,
x 称为n维向量x的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质：
(1)非负性 当x ≠ 0时, x > 0;当x = 0时, x = 0;
(2)齐次性 λx = λ x ;
(3)三角不等式 x + y ≤ x + y .
当 x = 1时, 称x为单位向量 .
向量的内积满足施瓦茨 不等式 [ x, y]2 ≤ [ x, x][ y, y],
其中x, y都是列向量. 内积满足下列运算规律 (其中 x, y, z为n维向
量, λ为实数 ) :
(1)[ x, y] = [ y, x];
(2)[λx, y] = λ[ x, y];
(3)[ x + y, z] = [ x, z] + [ y, z].
２ 向量的长度
定义 令
x=
[x, x] =
第一步 正交化
取 b1 = a1;
b2
=
a2
−
[b1 , a2] [b1 , b1]
b1;
br
=
ar
−
[b1 [b1
, ,
ar] b1]
b1
−
[b2 [b2
, ,
a b
r] 2]
b
2
−
−
[br −1 [br −1 ,
,ar] br −1]
b
r
−1
.
则b1 , b2 , , br 两两正交,且与a1 , a2 , , ar 等价.
单位化．
⎜⎛ 1⎟⎞
⎜⎛ 1⎟⎞
⎜⎛ − 1⎟⎞
例2
已知向量
α
1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 0 0
⎟⎟,α
⎟⎟⎠
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 0
⎟⎟,α
⎟⎟⎠
3
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 1
⎟⎟是线性 ⎟⎟⎠
无关向量组,求与之等价的正交单位 向量组.
从而有
[ x, y] ≤ 1, (当 x y ≠ 0时). xy
３ 向量的夹角
定义 当 x ≠ 0, y ≠ 0时,
θ = arccos [ x, y]
xy 称为 n维向量 x与y的夹角.
当[ x, y] = 0时, 称向量x与y正交. 若x = 0,则x与任何向量都正交.
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
ϕ ( A)的特征值.其中ϕ (λ ) = a0 + a1 λ + + am λ m ,
ϕ ( A) = a0 E + a1 A + + am Am .
(3)当A可逆时,
1
λ
是
A−
1的特征值;
1
λ
⋅
A是
A∗的
特征值.
８ 有关特征向量的一些结论
定理 设 λ 1 , λ 2 , , λ m 是方阵 A的m个特征值 ,
１ 向量内积的定义及运算规律
定义 设有n维向量
⎜⎛ x1 ⎟⎞
x
=
⎜ ⎜
x
பைடு நூலகம்
2
⎟⎟,
⎜⎜⎝ x n ⎟⎟⎠
⎜⎛ y1 ⎟⎞
y
=
⎜ ⎜
y2
⎟⎟,
⎜⎜⎝ yn ⎟⎟⎠
令[ x, y] = x1 y1 + x 2 y2 + + x n yn ,[ x, y]称为向量
x与y的内积 .
内积的矩阵表示 [x, y] = xT y,
数的个数相等 .
注意 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数 p称为正惯性指 数;
r − p = N称为负惯性指数 ; s = p − N = p − (r − p) = 2 p − r称为 f的符号 差. 它们是二次型对于非退 化线性变换的不变 量.
１７ 正定二次型的判定
(1)实二次型 f = xT Ax为正定的充分必要条件 是 :它的标准形的 n个系数全为正 ,即正惯性指数 p = n;
第二步 单位化
取 e1 = 1 b1,e2 = 1 b2 ,
b1
b2
V的一个规范正交基 .
, e r = 1 br , 就得 br
５ 正交矩阵与正交变换
定义 如果 n阶矩阵 A满足 AT A = E (即 A−1 = AT ),
那么称 A为正交矩阵 . 方阵 A为正交矩阵的充分必要条件是 A的行
∴ AT A = AA
= [E − (2 / aT a) ⋅ a aT] [E − (2 / aT a) ⋅ a aT]
= E − [2 / (aT a)] ⋅ a aT − [2 / (aT a)] ⋅ a aT + [4 / (aT a)2]a(aT a)aT .
∵ a ≠ 0,∴ aT a为一非零数, 故a(aT a)aT = (aT a)(a aT ),
七、判断方阵 A可否对角化
八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵
九、化二次型为标准形
一、证明所给矩阵为正交矩阵
方法1 证明矩阵的各列(或行)元素满足正
交条件
n
n
∑ ∑ aki akj = δ ij (或 aik a jk = δ ij), i, j = 1,2, , n;
k =1
k =1
方法2 根据正交阵的定义 ,先求出 AT ,然后
p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的特征 向量,如果
λ 1 , λ 2 , , λ m 各不相等 ,则 p1 , p2 , , pm 线性无关 .
即属于不同特征值的特 征向量是线性无关的 .
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
９ 相似矩阵
定义 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P, 使 P −1 AP = B,
６ 方阵的特征值和特征向量
定义 设A是n阶矩阵,如果数λ和n维非零列向量x
使关系式
Ax = λx 成立,那么, 这样的数λ称为方阵A的特征值,非零向 量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
A − λE = 0称为方阵A的特征方程. f (λ ) = A − λE 称为方阵A的特征多项式.
n阶方阵A有n个特征值.若A = (aij)的特征值为
二次型与它的矩阵是一一对应的．
当aij 是复数时, f称为复二次型;当aij 是实数时, f称为实二次型 .
１３ 二次型的标准形
定义 只含平方项的二次型
f
=
k1
y
2 1
+
k
2
y
2 2
+
+
kn
y
2 n
称为二次型的标准形 (或法式 ).
１４ 化二次型为标准形
(1)任给可逆矩阵C ,令B = CT AC ,如果A为对称
式为负,而偶数阶主子式为正 ,即
a11 ( −1)r
a1r > 0,(r = 1,2, , n).
ar1
a rr
典型例题
一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正
交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似. 对A进行运算 P −1 AP称为对A进行相似变换 ,
可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 .
矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性．
１０ 有关相似矩阵的性质
(1)若 A与 B相似，则 A与 B的特征多项式 相同，从而 A 与 B的特征值亦相同．
∴ AT A = E − [4 /(aT a)]a aT + [4 /(aT a)]a aT = E, 故A是正交矩阵 .
特别当aT a = 1时, A = E − 2a aT 是正交矩阵.
二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可
以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与
λ 1 , λ 2 , , λ n ,则有 (1) λ 1 + λ 2 + + λ n = a11 + a22 + + ann; (2)λ1λ 2 λ n = A .
７ 有关特征值的一些结论
设λ是A = (aij)n×n的特征值,则 (1)λ也是 AT 的特征值;
(2) λ k 是 Ak的特征值(k为任意自然数 );ϕ (λ )是
f (x1, x2,
,
x
n)
=
a 11
x
2 1
+
a 22
x
2 2
+
+
a
nn
x
2 n
+
2
a 12
x1
x
2
+
2
a 13
x1
x
3
+
+ 2 a n−1,n x n−1 x n
称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 AT = A. A称 为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A的二次型 , 对 称阵 A的秩称为二次型 f的秩 .
验证A AT = E.
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵,证明
A = E − [2 /(aT a)]a aT 为正交矩阵.