重庆中考数学真题及答案A卷一、选择题（共12个小题）.1．（4分）下列各数中,最小的数是()A．3-B．0 C．1 D．22．（4分）下列图形是轴对称图形的是()A．B．C．D．3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上,有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为()A．3⨯D．50.2610⨯2.610⨯C．4⨯B．326102.6104．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形,⋯,按此规律排列下去,则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A．10 B．15 C．18 D．215．（4分）如图,AB是O的切线,A为切点,连接OA,OB,若20∠=︒,则AOB∠的度数B为()A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒6．（4分）下列计算中,正确的是()A= B．2=C= D．2-=7．（4分）解一元一次方程11(1)123x x +=-时,去分母正确的是( ) A ．3(1)12x x +=- B ．2(1)13x x +=- C ．2(1)63x x +=- D ．3(1)62x x +=-8．（4分）如图,在平面直角坐标系中,ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ,(1,1)B ,(3,1)C ,以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF ∆,使DEF ∆与ABC ∆成位似图形,且相似比为2:1,则线段DF 的长度为( )AB ．2C ．4 D．9．（4分）如图,在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡,山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =,山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =,在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒,居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内,则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈,cos 280.88︒≈,tan 280.53)(︒≈ )A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m10．（4分）若关于x 的一元一次不等式组313,2x x x a-⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x a ；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解,则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7 B ．14- C ．28 D ．56-11．（4分）如图,三角形纸片ABC ,点D 是BC 边上一点,连接AD ,把ABD ∆沿着AD 翻折,得到AED ∆,DE 与AC 交于点G ,连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =,3AF =,2BF =,ADG ∆的面积为2,则点F 到BC 的距离为( )A B C D 12．（4分）如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合,点E 是x 轴上一点,连接AE ．若AD 平分OAE ∠,反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过AE 上的两点A ,F ,且AF EF =,ABE ∆的面积为18,则k 的值为( )A ．6B ．12C ．18D ．24二、填空题：（本大题6个小题,每小题4分,共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：0(1)|2|π-+-= ．14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍,则这个多边形的边数是 ．15．（4分）现有四张正面分别标有数字1-,1,2,3的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗均匀,随机抽取一张,记下数字后放回,背面朝上洗均匀,再随机抽取一张记下数宇,前后两次抽取的数字分别记为m ,n ．则点(,)P m n 在第二象限的概率为 ．16．（4分）如图,在边长为2的正方形ABCD 中,对角线AC 的中点为O ,分别以点A ,C 为圆心,以AO 的长为半径画弧,分别与正方形的边相交,则图中的阴影部分的面积为 ．（结果保留)π17．（4分）A ,B 两地相距240km ,甲货车从A 地以40/km h 的速度匀速前往B 地,到达B 地后停止．在甲出发的同时,乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地,到达A 地后停止．两车之间的路程()y km 与甲货车出发时间()x h 之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示．其中点C 的坐标是(0,240),点D 的坐标是(2.4,0),则点E 的坐标是 ．18．（4分）火锅是重庆的一张名片,深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营,6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台,该火锅店老板预计7月份总营业额会增加,其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25,则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720,为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5,则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．三、解答题：（本大题7个小题,每小题10分,共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形（包括辅助线）,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（10分）计算：（1）2()(2)x y x x y ++-；（2）229(1)369m m m m m --÷+++． 20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况,增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动,现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分,6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7,8,7,9,7,6,5,9,10,9,8,5,8,7,6,7,9,7,10,6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：根据以上信息,解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a ,b ,c 的值；（2）根据上述数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动,估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？21．（10分）如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,分别过点A ,C 作AE BD ⊥,CF BD ⊥,垂足分别为E ,F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒,求ACB ∠的度数；（2）求证：AE CF =．22．（10分）在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261x y x =+性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象；（2）根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在答题卡上相应的括号内打“√”,错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”；①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y轴．②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值．当1x=时,函数取得最大值3；当1x=-时,函数取得最小值3-．③当1x<-或1x>时,y随x的增大而减小；当11x-<<时,y随x的增大而增大．（3）已知函数21y x=-的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式26211xxx>-+的解集（保留1位小数,误差不超过0.2)．23．（10分）在整数的除法运算中,只有能整除与不能整除两种情况,当不能整除时,就会产生余数,现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．定义：对于一个自然数,如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,则称这个数为“差一数”．例如：14524÷=⋯,14342÷=⋯,所以14是“差一数”；19534÷=⋯,但19361÷=⋯,所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种,提高产量,某农业科技小组对A ,B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ,B 两个品种各种植了10亩．收获后A ,B 两个品种的售价均为2.4元/kg ,且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ,A ,B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ,B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年,科技小组加大了小麦种植的科研力度,在A ,B 种植亩数不变的情况下,预计A ,B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a ．由于B 品种深受市场的欢迎,预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a ,而A 品种的售价不变．A ,B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a ．求a 的值． 25．（10分）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ,B 两点,其中(3,4)A --,(0,1)B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点,连接PA ,PB ,求PAB ∆面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠,平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ,点D 为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E ,使以点B ,C ,D ,E 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．四、解答题：（本大题1个小题,共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形（包括辅助线）,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图,在Rt ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 是BC 边上一动点,连接AD ,把AD 绕点A 逆时针旋转90︒,得到AE ,连接CE ,DE ．点F 是DE 的中点,连接CF ．（1）求证：CF=；（2）如图2所示,在点D运动的过程中,当2=时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜BD CD想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA PB PC++的值最小．当++的值取得最小值时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长．PA PB PC一、选择题：（本大题12个小题,每小题4分,共48分）在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）下列各数中,最小的数是()A．3-B．0 C．1 D．2解：3012-<<<,∴这四个数中最小的数是3-．故选：A．2．（4分）下列图形是轴对称图形的是()A．B．C．D．解：B、C、D都不是轴对称图形,A是轴对称图形,故选：A．3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上,有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为()A．3⨯D．50.2610⨯2.610⨯C．4⨯B．32.6102610解：426000 2.610=⨯,故选：C．4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有1个黑色三角形,第②个图案中有3个黑色三角形,第③个图案中有6个黑色三角形,⋯,按此规律排列下去,则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A．10 B．15 C．18 D．21解：第①个图案中黑色三角形的个数为1,第②个图案中黑色三角形的个数312=+,第③个图案中黑色三角形的个数6123=++,⋯⋯∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515++++=,故选：B．5．（4分）如图,AB是O的切线,A为切点,连接OA,OB,若20B∠=︒,则AOB∠的度数为()A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒解：AB是O的切线,A为切点,90A∴∠=︒,20B∠=︒,902070AOB∴∠=︒-︒=︒,故选：D．6．（4分）下列计算中,正确的是()A=B．2=C=D．2-=解：A,不能合并,此选项计算错误；B．2不是同类二次根式,不能合并,此选项计算错误；C==,此选项计算正确；D．与2-不是同类二次根式,不能合并,此选项错误；故选：C．7．（4分）解一元一次方程11(1)123x x+=-时,去分母正确的是()A．3(1)12x x+=-B．2(1)13x x+=-C．2(1)63x x+=-D．3(1)62x x+=-解：方程两边都乘以6,得：3(1)62x x+=-,故选：D ．8．（4分）如图,在平面直角坐标系中,ABC ∆的顶点坐标分别是(1,2)A ,(1,1)B ,(3,1)C ,以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF ∆,使DEF ∆与ABC ∆成位似图形,且相似比为2:1,则线段DF 的长度为( )A B ．2 C ．4 D ． 解：以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF ∆,使DEF ∆与ABC ∆成位似图形,且相似比为2:1,而(1,2)A ,(3,1)C ,(2,4)D ∴,(6,2)F ,DF ∴==故选：D ．9．（4分）如图,在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡,山坡CD 的坡度（或坡比）1:0.75i =,山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离45CD m =,在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28︒,居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内,则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 280.47︒≈,cos 280.88︒≈,tan 280.53)(︒≈ )A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m解：如图,由题意得,28ADF ∠=︒,45CD =,60BC =,在Rt DEC ∆中,山坡CD 的坡度1:0.75i =, ∴140.753DE EC ==, 设4DE x =,则3EC x =,由勾股定理可得5CD x =,又45CD =,即545x =,9x ∴=,327EC x ∴==,436DE x FB ===,602787BE BC EC DF ∴=+=+==,在Rt ADF ∆中,tan 280.538746.11AF DF =︒⨯≈⨯≈,46.113682.1AB AF FB ∴=+=+≈,故选：B ．10．（4分）若关于x 的一元一次不等式组313,2x x x a-⎧+⎪⎨⎪⎩的解集为x a ；且关于y 的分式方程34122y a y y y --+=--有正整数解,则所有满足条件的整数a 的值之积是( ) A ．7 B ．14- C ．28 D ．56-解：不等式组整理得：7x x a ⎧⎨⎩, 由解集为x a ,得到7a ,分式方程去分母得：342y a y y -+-=-,即32y a -=, 解得：23a y +=, 由y 为正整数解,且2y ≠得到1a =,7177⨯=,故选：A ．11．（4分）如图,三角形纸片ABC ,点D 是BC 边上一点,连接AD ,把ABD ∆沿着AD 翻折,得到AED ∆,DE 与AC 交于点G ,连接BE 交AD 于点F ．若DG GE =,3AF =,2BF =,ADG ∆的面积为2,则点F 到BC 的距离为( )A B C D 解：DG GE =,2ADG AEG S S ∆∆∴==,4ADE S ∆∴=,由翻折可知,ADB ADE ∆≅∆,BE AD ⊥,4ABD ADE S S ∆∆∴==,90BFD ∠=︒, ∴1()42AF DF BF +=, ∴1(3)242DF +=, 1DF ∴=,DB ∴===设点F 到BD 的距离为h ,则有1122BD h BF DF =,h ∴=, 故选：B ．12．（4分）如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合,点E 是x 轴上一点,连接AE ．若AD 平分OAE ∠,反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过AE 上的两点A ,F ,且AF EF =,ABE ∆的面积为18,则k 的值为( )A ．6B ．12C ．18D ．24解：如图,连接BD ,OF ,过点A 作AN OE ⊥于N ,过点F 作FM OE ⊥于M ．//AN FM ,AF FE =,MN ME ∴=,12FM AN ∴=, A ,F 在反比例函数的图象上,2AON FOM k S S ∆∆∴==, ∴1122ON AN OM FM =, 12ON OM ∴=, ON MN EM ∴==,13ME OE ∴=, 13FME FOE S S ∆∆∴=, AD 平分OAE ∠,OAD EAD ∴∠=∠,四边形ABCD 是矩形,OA OD ∴=,OAD ODA DAE ∴∠=∠=∠,//AE BD ∴,ABE AOE S S ∆∆∴=,18AOE S ∆∴=,AF EF =,192EOF AOE S S ∆∆∴==, 133FME EOF S S ∆∆∴==, 9362FOM FOE FME k S S S ∆∆∆∴=-=-==, 12k ∴=． 故选：B ．二、填空题：（本大题6个小题,每小题4分,共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：0(1)|2|π-+-= 3 ．解：0(1)|2|123π-+-=+=,故答案为：3．14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍,则这个多边形的边数是 6 ． 解：设这个多边形的边数为n ,依题意,得：(2)1802360n -︒=⨯︒,解得6n =．故答案为：6．15．（4分）现有四张正面分别标有数字1-,1,2,3的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗均匀,随机抽取一张,记下数字后放回,背面朝上洗均匀,再随机抽取一张记下数宇,前后两次抽取的数字分别记为m ,n ．则点(,)P m n 解：画树状图为：共有16种等可能的结果数,其中点(,)P m n在第二象限的结果数为3,所以点(,)P m n在第二象限的概率316 =．故答案为316．16．（4分）如图,在边长为2的正方形ABCD中,对角线AC的中点为O,分别以点A,C为圆心,以AO的长为半径画弧,分别与正方形的边相交,则图中的阴影部分的面积为4π-．（结果保留)π解：四边形ABCD为正方形,2AB BC∴==,90DAB DCB∠=∠=︒,由勾股定理得,AC==,OA OC∴==,∴图中的阴影部分的面积2224π=-=-,故答案为：4π-．17．（4分）A,B两地相距240km,甲货车从A地以40/km h的速度匀速前往B地,到达B地后停止．在甲出发的同时,乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地,到达A地后停止．两车之间的路程()y km与甲货车出发时间()x h之间的函数关系如图中的折线CD DE EF--所示．其中点C的坐标是(0,240),点D的坐标是(2.4,0),则点E的坐标是(4,160) ．解：根据题意可得,乙货车的速度为：240 2.44060(40/)km h ÷-=,∴乙货车从B 地到A 地所用时间为：240604÷=（小时）,当乙货车到底A 地时,甲货车行驶的路程为：404160⨯=（千米）,∴点E 的坐标是(4,160)．故答案为：(4,160)．18．（4分）火锅是重庆的一张名片,深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营,6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3:5:2．随着促进消费政策的出台,该火锅店老板预计7月份总营业额会增加,其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25,则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720,为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8:5,则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1:8 ．解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ,5a ,2a ,设7月份总的增加营业额为5x ,摆摊增加的营业额为2x ,7月份总营业额20b ,摆摊7月份的营业额为7b ,堂食7月份的营业额为8b ,外卖7月份的营业额为5b ,由题意可得：72220105b a x b a x -=⎧⎨-=⎩, 解得：63x a xb ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 7∴月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比(55):201:8b a b =-=,故答案为：1:8．三、解答题：（本大题7个小题,每小题10分,共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形（包括辅助线）,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（10分）计算：（1）2()(2)x y x x y ++-；（2）229(1)369m m m m m --÷+++． 解：（1）2()(2)x y x x y ++-,22222x xy y x xy =+++-,222x y =+；（2）229(1)369m m m m m --÷+++, 23(3)()33(3)(3)m m m m m m m ++=-⨯+++-, 3333m m m +=⨯+-, 33m =-． 20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况,增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动,现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分,6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为：7,8,7,9,7,6,5,9,10,9,8,5,8,7,6,7,9,7,10,6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：根据以上信息,解答下列问题：（1）直接写出上述表中的a ,b ,c 的值；（2）根据上述数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动,估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？解：（1）七年级20名学生的测试成绩为：7,8,7,9,7,6,5,9,10,9,8,5,8,7,6,7,9,7,10,6, 7a ∴=,由条形统计图可得,(78)27.5b =+÷=,(523)20100%50%c =++÷⨯=,即7a =,7.5b =,50%c =；（2）八年级学生掌握垃极分类知识较好,理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级,故八年级学生掌握垃极分类知识较好；（3）从调查的数据看,七年级2人的成绩不合格,八年级2人的成绩不合格,∴参加此次测试活动成绩合格的学生有(202)(202)120010802020-+-⨯=+（人), 即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．21．（10分）如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,分别过点A ,C 作AE BD ⊥,CF BD ⊥,垂足分别为E ,F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒,求ACB ∠的度数；（2）求证：AE CF =．【解答】（1）解：AE BD ⊥,90AEO ∴∠=︒,50AOE ∠=︒,40EAO ∴∠=︒, CA 平分DAE ∠,40DAC EAO ∴∠=∠=︒,四边形ABCD 是平行四边形,//AD BC ∴,40ACB DAC ∠=∠=︒,（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形,OA OC ∴=,AE BD ⊥,CF BD ⊥,90AEO CFO ∴∠=∠=︒,AOE COF ∠=∠,()AEO CFO AAS ∴∆≅∆,AE CF ∴=．22．（10分）在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261x y x =+性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整,并在图中补全该函数图象；（2）根据函数图象,判断下列关于该函数性质的说法是否正确,正确的在答题卡上相应的括号内打“√”,错误的在答题卡上相应的括号内打“⨯”；①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y 轴．②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值．当1x =时,函数取得最大值3；当1x =-时,函数取得最小值3-．③当1x <-或1x >时,y 随x 的增大而减小；当11x -<<时,y 随x 的增大而增大．（3）已知函数21y x =-的图象如图所示,结合你所画的函数图象,直接写出不等式26211x x x >-+的解集（保留1位小数,误差不超过0.2)．解：（1）补充完整下表为：画出函数的图象如图：；（2）根据函数图象：①该函数图象是轴对称图形,它的对称轴为y 轴,说法错误；②该函数在自变量的取值范围内,有最大值和最小值．当1x =时,函数取得最大值3；当1x =-时,函数取得最小值3-,说法正确；③当1x <-或1x >时,y 随x 的增大而减小；当11x -<<时,y 随x 的增大而增大,说法正确． （3）由图象可知：不等式26211xx x >-+的解集为1x <-或0.3 1.8-<．23．（10分）在整数的除法运算中,只有能整除与不能整除两种情况,当不能整除时,就会产生余数,现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．定义：对于一个自然数,如果这个数除以5余数为4,且除以3余数为2,则称这个数为“差一数”．例如：14524÷=⋯,14342÷=⋯,所以14是“差一数”；19534÷=⋯,但19361÷=⋯,所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．解：（1）49594÷=⋯,但493161÷=⋯,所以49不是“差一数”；745144÷=⋯,743242÷=⋯,所以74是“差一数”．（2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304,309,314,319,324,329,334,339,344,349,354,359,364,369,374,379,384,389,394,399 ,其中除以3余数为2的有314,327,344,359,374,389．故大于300且小于400的所有“差一数”有314,327,344,359,374,389．24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种,提高产量,某农业科技小组对A,B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A,B两个品种各种植了10亩．收获后A,B两个品种的售价均为2.4元/kg,且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg,A,B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A,B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年,科技小组加大了小麦种植的科研力度,在A,B种植亩数不变的情况下,预计A, B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a和2%a．由于B品种深受市场的欢迎,预计每千克价格将在去年的基础上上涨%a,而A品种的售价不变．A,B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a．求a的值．解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得,10010 2.4()21600y xx y-=⎧⎨⨯+=⎩,解得：400500xy=⎧⎨=⎩,答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克； （2）202.440010(1%) 2.4(1%)50010(12%)21600(1%)9a a a a ⨯⨯+++⨯⨯+=+, 解得：0.1a =, 答：a 的值为0.1．25．（10分）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ,B 两点,其中(3,4)A --,(0,1)B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点,连接PA ,PB ,求PAB ∆面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠,平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ,点D 为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E ,使以点B ,C ,D ,E 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得4931b c c -=-=⎧⎨=-⎩,解得41b c =⎧⎨=-⎩,故抛物线的表达式为：241y x x =+-；（2）设直线AB 的表达式为：y kx t =+,则431k t t -=-+⎧⎨=-⎩,解得11k t =⎧⎨=-⎩,故直线AB 的表达式为：1y x =-, 过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ,设点2(,41)P x x x +-,则(,1)H x x -, PAB ∆面积221139()(141)(03)2222B A S PH x x x x x x x =⨯⨯-=---+⨯+=--, 302-<,故S 有最大值,当32x =-时,S 的最大值为278；（3）抛物线的表达式为：2241(2)5y x x x =+-=+-, 则平移后的抛物线表达式为：25y x =-, 联立上述两式并解得：14x y =-⎧⎨=-⎩,故点(1,4)C --；设点(2,)D m -、点(,)E s t ,而点B 、C 的坐标分别为(0,1)-、(1,4)--； ①当BC 为菱形的边时,点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ,同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ）,即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②, 当点D 在E 的下方时,则BE BC =,即2222(1)13s t ++=+③, 当点D 在E 的上方时,则BD BC =,即22222(1)13m ++=+④,联立①③并解得：1s =-,2t =或4-（舍去4)-,故点(1,3)E -；联立②④并解得：1s =,4t =-±,故点(1,4E -+或(1,4--； ②当BC 为菱形的的对角线时,则由中点公式得：12s -=-且41m t --=+⑤, 此时,BD BE =,即22222(1)(1)m s t ++=++⑥, 联立⑤⑥并解得：1s =,3t =-, 故点(1,3)E -,综上,点E 的坐标为：(1,2)-或(1,4-或(1,4-或(1,3)-．四、解答题：（本大题1个小题,共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形（包括辅助线）,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．（8分）如图,在Rt ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 是BC 边上一动点,连接AD ,把AD 绕点A 逆时针旋转90︒,得到AE ,连接CE ,DE ．点F 是DE 的中点,连接CF ．（1）求证：CF =； （2）如图2所示,在点D 运动的过程中,当2BD CD =时,分别延长CF ,BA ,相交于点G ,猜想AG 与BC 存在的数量关系,并证明你猜想的结论；（3）在点D 运动的过程中,在线段AD 上存在一点P ,使PA PB PC ++的值最小．当PA PB PC ++的值取得最小值时,AP 的长为m ,请直接用含m 的式子表示CE 的长．【解答】证明：（1）AB AC =,90BAC ∠=︒,45ABC ACB ∴∠=∠=︒,把AD 绕点A 逆时针旋转90︒,得到AE , AD AE ∴=,90DAE BAC ∠=︒=∠,BAD CAE ∴∠=∠,DE =,又AB AC =,()BAD CAE SAS ∴∆≅∆, 45ABD ACE ∴∠=∠=︒, 90BCE BCA ACE ∴∠=∠+∠=︒,点F 是DE 的中点,12CF DE AD ∴==；（2）AG =, 理由如下：如图2,过点G 作GH BC ⊥于H ,2BD CD =,∴设CD a =,则2BD a =,3BC a =,90BAC ∠=︒,AB AC =,AB AC ∴===, 由（1）可知：BAD CAE ∆≅∆, 2BD CE a ∴==, CF DF =, FDC FCD ∴∠=∠, tan tan FDC FCD ∴∠=∠, ∴2CE GHCD CH==, 2GH CH ∴=,GH BC ⊥,45ABC ∠=︒, 45ABC BGH ∴∠=∠=︒, BH GH ∴=,∴=BG+==,3BH CH BC aBH GH a==,CH a∴=,2BG∴=,∴=-===；AG BG AB（3）如图31∆,连接PN,∆绕点B顺时针旋转60︒得到BNM-,将BPCPBN∠=︒,=,60∴=,PC NMBP BN∴∆是等边三角形,BPN∴=,BP PN∴++=++,PA PB PC AP PN MN++值最小,∴当点A,点P,点N,点M共线时,PA PB PC此时,如图32-,连接MC,将BPC∆,∆绕点B顺时针旋转60︒得到BNMBP BNPBN CBM∠=︒=∠,=,60∴=,BC BM∆是等边三角形, BPN∴∆是等边三角形,CBM=,∴∠=∠=︒,BM CMBPN BNP60=,BM CM=,AB AC∴垂直平分BC,AM∠=︒,BPD⊥,60AD BCBD∴=,⊥,BAC∠=︒,AD BCAB AC=,90∴=,AD BD=+,∴PD AP∴=,PD∴==,BD由（1）可知：CE BD==．。