狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。

对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。

在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。

对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。

且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。

对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。

只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。

只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。

问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。

关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。

在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。

因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。

设t 时刻它们的数量分别为()y t 和()x t ,已知满足以下微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=xy x dtdx y xy dt dy02.049.0001.0 （1） 分析这两个物种的数量变化关系。

（2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？二、模型假设（1） 题目所给数据真实有效，野兔有充分的食物，狐狸只以野兔为食物； （2） 自然状态下，野兔独立生存时的相对增长率为正常数； （3） 自然状态下，狐狸独立生存时的相对增长率为负常数；（4） 野兔由于狐狸的存在使增长率降低，降低的程度与狐狸数量成正比； （5） 狐狸由于野兔为其提供食物使死亡率降低或使之增长，增长的程度与野兔的数量成正比；（6） 人工捕获不会影响野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。

三、定义与符号说明四、问题分析自然状态下，野兔和狐狸两物种存在被捕食与捕食关系，通过假设及各种参数的定义，建立微分方程描述两物种数量随时间变化的Volterra模型。

4.1问题（1）的分析为了直观的反映出两物种的数量变化关系，将题中所给数据和任意取定的初值代入模型中的微分方程组，并用matlab绘制图像，由图可大致得出两物种数量呈周期性变化；为了证明野兔与狐狸数量确实是周期函数，需从模型出发，得到相轨线)y图像为封闭曲线即可得野兔与(xy方程，并用matlab绘制图像，)(x狐狸数量呈周期性变化。

为了较全面说明两物种的数量变化关系，分别取三组不同的具有代表性的初值).200(,,（200500）500,200,200(),4.2问题（2）的分析令模型中两式皆为零即可求得狐狸和野兔数量的平衡状态。

4.3问题（3）的分析在Volterra模型基础上引入人工捕获系数，野兔的增长率降低，狐狸的死亡率增加，对改进后的模型求得平衡状态，通过平衡状态分析人工捕获对两物种数量的影响。

五、模型的建立与求解5.1模型的建立分别以)(,(t y t x ）表示野兔和狐狸在时刻t 的数量。

假定野兔有充分的食物，而狐狸是以野兔为食物的。

野兔独立生存时，数量)(t x 的增长应服从马尔萨斯模型，但是有狐狸的存在，则被狐狸吃掉是野兔死亡的一个重要原因。

两物种相遇（发生被吃现象）是偶然的，相遇机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯模型的基础上增加一项:xy r 1-，即xy r x k dtdx11-= 假定狐狸的出生率与群体规模)(t y 成正比，而真正能活下来的只是那些找到食物的（与野兔相遇部分），所以它的有效出生率与两物种规模成正比。

假定它的自然死亡率也与群体规模y 成正比，即xy r y k dtdy22+-= 所以在没有人类捕捞的情况下，给定野兔和狐狸的初始值)(00，，y x ，野兔与狐狸增长规律性可用常微分方程组描述（Volterra 模型）()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx（1）5.2模型的求解首先将式（1）的两式相除，消去dt 得到()()1122x k r dxdy y k r x -=-+ 这是可分离变量方程2211k r k r ydx dy x y-+-= 两边积分得到()y x 的通解()()2211k r xk r yxeyec --= （2）其中常数c 由初始条件确定。

式（2）的解)(),(t y t x 描述了野兔和狐狸的数量随时间的变化过程，但是得不到)(),(t y t x 的解析解，需要用数值算法求解。

5.2.1问题一的求解将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（1）和式（2）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=xy y dtdy xy x dtdx001.09.002.04（3）()()c e y e x y x =--002.04001.09.0为了分析野兔和狐狸的数量随时间的变化，任取三组数据)500,200(),200,200(),200,500(分别作为野兔和狐狸数量的初值，用Matlab 编程求得模型的数值解并绘制野兔和狐狸数量随时间变化的图像以及狐狸和野兔的数量变化关系图像，由以上两图得出野兔和狐狸数量呈现周期性变化。

Matlab 程序及得到的数值结果见附录，三组不同初值对应的()()t y t x ,及()x y 的图形分别见图1-甲——图3-乙从以上三图可以看出，不论初始时刻野兔和狐狸数量大小关系如何变化，两物种的数量变化都有如下规律：当狐狸数量增加时，野兔数量开始减少；狐狸数量达到峰值时便开始递减，然后野兔数量回升；野兔数量达到峰值后再次减少。

两种动物的数量都呈现出周期性的变化，各自达到一个峰值就会趋于平衡，但是两个峰值不在同一时刻达到，这符合捕食与被捕食的关系，是捕食与被捕食系统的振荡现象。

5.2.2问题二的求解令式（3）中两式为040.0200.90.0010dxx xy dtdy y xy dt⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加 求得平衡点为()900,200，结合两物种数量变化关系图4-甲知野兔和狐狸的 平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。

5.2.3问题三的求解考虑人工捕获，引入人工捕获系数1e 和2e 。

5.2.3.1只捕获野兔设只捕获野兔的捕获系数为1e ，此时野兔的自然增长率由1k 降为11e k -，狐狸的自然死亡率由2k 增为12e k +。

改进后模型为()()111212dxk e x r xy dtdy k e y r xydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （4） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（4）得()()1140.020.90.001dxe x xy dtdy e y xydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （5） 令式（5）中两式为0，得()()1140.0200.90.0010dxe x xy dtdy e y xy dt⎧=--=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩ 求得平衡点11110.990010000.0014200500.02e x e e y e +⎧==+⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩或 00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 因10e >，所以捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加。

即Volterra原理：为了减少强者，只需捕获弱者 5.2.3.2只捕获狐狸设只捕获狐狸的捕获系数为2e ，此时野兔的自然增长率由1k 增为12k e +，狐狸的自然死亡率由2k 增为22k e +。

改进后模型为()()121222dxk e x r xy dtdy k e y r xydt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （6） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（6）得()()2240.020.90.001dxe x xy dtdy e y xydt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （7） 令式（7）中两式为0，得()()2240.0200.90.0010dxe x xy dtdy e xy dt⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩ 求得平衡点22220.990010000.001420050.02e x e e y e +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==+⎪⎩或 00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加。

六、模型的评价与推广6.1模型的评价（1）Volterra 模型给出了自然界存在捕食与被捕食关系的两物种数量变化的普遍模型，使其易于推广，有更实用的操作性；（2）利用MATLAB 软件编程绘图，直观清晰地反映狐狸与野兔两物种的数量变化关系；（3）人工捕获时，模型中假设不会影响两物种相遇的机会，没有充分考虑野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。

6.2模型的推广6.2.1推广一假设人工捕获使两物种相遇的机会变小，且改变值为ε，即方程中的系数1r ，2r 均变小了ε，此时只捕获野兔的模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-++-=])()[(])()([111212y r e k x dtdx x r e k y dt dyεε（8） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（8）求的平衡状态为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=εε02.04001.09.011e y e x 狐狸的数量与野兔的数量的比例：)02.0)(9.0()001.0)(4(11εεα-+--==e e xy在式（4）中，不同捕获系数1e 对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表1.数量00 000 100 200 300 400 500 600 700 00 900 狐狸的数量200195190185180175170165160155150α.222.195.172.154.138.125.113.103.0940.08610.0791e对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图5由图5知，考虑人工捕获对两物种相遇的影响后，只捕获野兔时，两物种平衡状态时的数量比变小，狐狸数量比野兔增加的快同理，只捕获狐狸的模型改变后求得的平衡状态为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=εε02.04001.09.022eyex狐狸的数量与野兔的数量的比例：)9.0)(02.0()001.0)(4(22eexy+--+==εεα在式（5）中，不同捕获系数2e对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表2.1e0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 野兔的数量900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 狐狸的数量200205210215220225230235240245250α0.2220.2050.1900.1790.1690.1600.1530.1460.1410.1360.131不同2e 对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图6。