初中数学竞赛试题之三角形
满分： 100 分
时间：100分钟
一．选择题（共6小题，每题3分，共18分）
1．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为（）
A．40° B．70° C．70°或20° D．40°或70°
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=，BD平分∠ABC交AC于D，若AD∶DC=5∶2，则点D到AB的距离为（）
A．10 B． 4 C．
D．
3．如图，△ABC中，AB=AC=BD，∠ADC=108°，则下列选项不正确的是（）
A．点D是线段BC的黄金分割点 B．△ABD中∠BAD的角平分线与CD 相等
C．BC-AD=CA D．CD=BC
4．如图，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点O，过点O分别作三边的平行线，若AB∶BC∶CA=6∶7∶5，则阴影部分面积之和与△ABC面积之比为（）
A．B．C． D．
5．已知在Rt△ABC中，D为AC上一点，
，则等于（）A． B．2 C． D．
A
第7题
D
第4题
C
B
第3题
第2题
6.老师给小明一道数学题，要求他将题补充完整：某农民要在一块面积为144米2的矩形荒地上建一个花坛, 花坛四周是宽度为1米的小路，中央是矩形的花圃，要
求花圃面积为99.2米2．已知小明列出的方程为，那么小明找的等量关系是（）
A．荒地的长或宽Ｂ．四周小路的面积Ｃ．花圃的长或宽Ｄ．只有设两个未知数才能解决问题
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
7.如图所示，□ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点Ｅ，DE = 2AE = 4cm，梯形ABCE的面积为12.8cm2，则CE的长为_______。
8.将两只三角板如图所示的放置，有两条边恰好完全重合，记上、下两块三角板的面积分别
为、，若能覆盖它们的最小的圆面积为，则______。
第8题
9．三边皆为整数的等腰三角形的周长为11，则其面积的可能值
有。
10．腰长为2 cm的等腰三角形的面积为1 cm2，则它的底边长为。
11．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，已知AE∶FC=9∶5，AB=30cm，BC=26cm，则△DEF的面积为。
12．如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若BC=8，，则AE= 。
13．如图，△ABC中，BC=5，AB的中垂线PD交BC于D，AC的中垂线QE交BC于E，PQ分别交AD、CE于点F、G，则折线DFGE的长度为。
14. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点A恰与点Ｃ重合；已知折痕EF =5cm，且折叠后所得图形的面积与原矩形面积之比等于11∶16，那么原矩形的周长为。
第14题
第13题
第12题
第11题
三．解答题（共8大题，共58分）
15．（5分）如图，在ΔABC中，．用尺规作图作AC边上的中线BD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求BD的长。
16．如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线；
(1)（3分）若CD=5，求AC的长；
(2)（4分）求证：AB=AC+CD。
17.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线D交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与A相交于点F；
（1）（3分）求∠A的度数；（2）（4分）求cos∠CBE。
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。
(1)（3分）求梯形ABCE的面积；(2)（3分）延长EF交BC于点G，试求。
19.△ABC中，，AB的中垂线OD交BC边于点D，连结AD；
(1) （2分）求∠DAC的度数；
(2) （3分）求△ABC的面积；
(3)（3分）直线DO与CA的延长线交于点E，试求BE。
20. 如图，正方形ABCD内一点P，
；
（1）（2分）求；
（2）（3分）求证：；
（3）（2分）求PB。
21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=15cm，点P从A出发沿AC Q
向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移
动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒；
(1) （2分）当t = 4时，求线段PQ的长度；
(2) （3分）当t为何值时，△PCQ的面积等于16cm2？
(3)（3分）点O为AB的中点，连结OC，能否使得PQ⊥OC？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。
O
22. 在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=80°，BD、AE分别是
∠ABC、∠BAC的角平分线，且交于点O，F、G分别为AB、AC上一点，使得
CB=CF=CG；
(1)（2分）求证：；
(2)（2分）请找出图中的相似三角形（不包括全等三角形）；
(3)（6分）求证：AF的长是方程的一个根；
BF的长是方程的一个根。