第9专题训练 零点存在的判定与证明一、基础知识:1、函数的零点:一般的,对于函数()y f x =,我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。

2、零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点,即()0,x a b ∃∈,使得()00f x =注:零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续,如果()f x 是分段的,那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响:如果一个连续函数是单调函数,那么它的零点至多有一个。

因此分析一个函数零点的个数前,可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”(假设()f x 在区间(),a b 连续)(1)若()()0f a f b ⋅<,则()f x “一定”存在零点,但“不一定”只有一个零点。

要分析()f x 的性质与图像,如果()f x 单调,则“一定”只有一个零点(2)若()()0f a f b ⋅>,则()f x “不一定”存在零点,也“不一定”没有零点。

如果()f x 单调,那么“一定”没有零点(3)如果()f x 在区间(),a b 中存在零点,则()()f a f b ⋅的符号是“不确定”的,受函数性质与图像影响。

如果()f x 单调,则()()f a f b ⋅一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号:()f x 是一个在(),a b 单增连续函数,0x x =是()f x 的零点,且()0,x a b ∈,则()0,x a x ∈时,()0f x <；()0,x x b ∈时,()0f x >6、判断函数单调性的方法: (1)可直接判断的几个结论:① 若()(),f x g x 为增(减)函数,则()()f x g x +也为增(减)函数② 若()f x 为增函数,则()f x -为减函数；同样,若()f x 为减函数,则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数,且()(),0f x g x >,则()()f x g x ⋅为增函数(2)复合函数单调性:判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性(注意要利用x 的范围求出t 的范围),若()t g x =,()y f t =均为增函数或均为减函数,则()()y f g x =单调递增；若()t g x =,()y f t =一增一减,则()()y f g x =单调递减(此规律可简记为“同增异减”)(3)利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤:(1)将所证等式中的所有项移至等号一侧,以便于构造函数(2)判断是否要对表达式进行合理变形,然后将表达式设为函数()f x (3)分析函数()f x 的性质,并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 (4)利用零点存在性定理证明零点存在例1:函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是( )A.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭思路:函数()f x 为增函数,所以只需代入每个选项区间的端点,判断函数值是否异号即可解:1211234022f e -⎛⎫⎛⎫-=+⋅--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()020f =-<11232022f ⎛⎫=+⋅-=< ⎪⎝⎭()12310f e e =+-=-> ()1102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭ 01,12x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x =答案:C例2:函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是( )A.31,2⎛⎫⎪⎝⎭ B. 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()2,eD. (),e +∞ 思路:先能判断出()f x 为增函数,然后利用零点存在性判定定理,只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。

1x →时,()ln 1x -→-∞,从而()f x ⇒-∞,313ln0222f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,所以031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x = 答案:A小专题训练有话说:(1)本题在处理1x →时,是利用对数的性质得到其()ln 1x -的一个趋势,从而确定符号。

那么处理零点问题遇到无法计算的点时也要善于估计函数值的取向。

(2)本题在估计出1x →时,()ln 1x -→-∞后,也可举一个具体的函数值为负数的例子来说明,比如()11.1 1.1ln 010f =+<。

正是在已分析清楚函数趋势的前提下,才能保证快速找到合适的例子。

例3:(2010,浙江)已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点,若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞,则( )A. ()()120,0f x f x <<B. ()()120,0f x f x <>C. ()()120,0f x f x ><D. ()()120,0f x f x >>思路:条件给出了()f x 的零点,且可以分析出()f x 在()1,+∞为连续的增函数,所以结合函数性质可得()()()()10200,0f x f x f x f x <=>= 答案:B例4:已知函数()()log 0,1a f x x x b a a =+->≠,当234a b <<<<时,函数()f x 的零点()0,1,x n n n N *∈+∈,则n =________思路:由a 的范围和()f x 解析式可判断出()f x 为增函数,所以0x 是唯一的零点。

考虑()3log 33log 334log 310a a a f b =+->+-=->,()2log 22log 223log 210a a a f b =+-<+-=-<,所以()02,3x ∈,从而2n =答案:2n = 例5:定义方程()()'fx f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”,若()()()()3,ln 1,1g x x h x x x x ϕ==+=-的“新驻点”分别为,,αβγ,则( )A.αβγ>>B. βαγ>>C. γαβ>>D. βγα>>思路:可先求出()()()''',,g x h x x ϕ,由“新驻点”的定义可得对应方程为:()3211,ln 1,131x x x x x =+=-=+,从而构造函数 ()()()()3211111,ln 1,311g x x h x x x x x x ϕ=-=+-=--+,再利用零点存在性定理判断,,αβγ的范围即可解:()()()'''211,,31g x h x x x x ϕ===+ 所以,,αβγ分别为方程()3211,ln 1,131x x x x x =+=-=+的根,即为函数: ()()()()3211111,ln 1,311g x x h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点 1α= ()()111010,1ln 202h h =-<=-> ()()()110100,1h h β∴⋅<⇒∈()()'213632x x x x x ϕ=-=- ()1x ϕ∴在()0,2单调减,在()(),0,2,-∞+∞单调增,而()1010ϕ=-<,(),2x ∴∈-∞时,()10x ϕ<,而()14150ϕ=>()()11240ϕϕ∴⋅< ()2,4γ∴∈βαγ∴<<答案:C例6:若函数)(x f 的零点与()ln 28g x x x =+-的零点之差的绝对值不超过5.0, 则)(x f 可以是( )A ．63)(-=x x fB ．2)4()(-=x x f C ．1)(1-=-x ex f D ．)25ln()(-=x x f思路:可判断出()g x 单增且连续,所以至多一个零点,但()g x 的零点无法直接求出,而各选项的零点便于求解,所以考虑先解出各选项的零点,再判断()g x 的零点所在区间即可 解:设各选项的零点分别为,,,A B C D x x x x ,则有72,4,1,2A B C D x x x x ==== 对于()ln 28g x x x =+-,可得:()()3ln320,4ln40g g =-<=>()03,4x ∴∃∈ ()00g x =77=ln 1022g ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 073,2x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,所以C 选项符合条件答案:C例7:设函数()()224,ln 25x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点,则( )A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D. ()()0f b g a <<思路:可先根据零点存在定理判断出,a b 的取值范围:()()030,1240f f e =-<=+->,从而()0,1a ∈；()()130,2ln230g g =-<=+>,从而()1,2b ∈ ,所以有012a b <<<<,考虑()()0f a gb ==,且发现()(),f x gx 为增函数。

进而()()()()0,0g a g b f b f a <=>=,即()()0g a f b <<答案:A例8:已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--,求证:()f x 存在唯一的零点,且零点属于()3,4思路:本题要证两个要素:一个是存在零点,一个是零点唯一。

证明零点存在可用零点存在性定理,而要说明唯一,则需要函数的单调性 解:()'111x fx x x-=-= ()1,x ∈+∞()'0f x ∴> ()f x ∴在()1,+∞单调递增 ()()31ln30,42ln20f f =-<=->()()340f f ∴< ()03,4x ∴∃∈,使得()00f x =因为()f x 单调,所以若()''0003,4,x x x ∃∈≠,且()()'000f x f x ==则由单调性的性质:'00x x =与题设矛盾 所以()f x 的零点唯一小专题训练有话说:如果函数()f x 在(),a b 单调递增,则在(),a b中,()()1212x x f x f x =⇔=,即函数值与自变量一一对应。