北京市清华大学附属中学2019年中考数学调研卷数学试题一、选择题1.计算(+1)2 019·(-1)2 018的结果是()A+1B-1 C D.12.阅读材料:设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则两个根与方程系数之间有如下关系:x1+x2=-,x1·x2=已知x1,x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根,则的值为A.4B.6C.8D.103.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<04.如图,四边形ABCD是边长为 4 cm的正方形,动点P在正方形ABCD的边上沿着A→B→C→D的路径以1 cm/s的速度运动,在这个运动过程中△APD的面积S(单位:cm2)随时间t(单位:s)的变化关系用图象表示,正确的是(DDD)5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,过AC上一点作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°6.如图,水平地面上有一面积为30π cm2的扇形AOB,半径OA=6 cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为()A.π cmB.2π cmC.5π cmD.10π cm7.在同一时刻的阳光下,小明的影子比小强的影子长,则在同一路灯下()A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长8.如图,将两张长为5,宽为1的矩形纸条交叉,让两个矩形对角线交点重合,且使重叠部分成为一个菱形.当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度,在旋转过程中,得出所有重叠部分为菱形的四边形中,周长的最大值是()A.8B.10C.10.4D.129.如图,小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球,则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为()A. B. C. D.10.现定义一种变换:对于一个由有限个数组成的序列S0,将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数,可得到一个新序列S1.例如序列S0:(4,2,3,4,2),通过变换可生成新序列S1:(2,2,1,2,2).若S0可以为任意序列,则下面的序列可作为S1的是()A.(1,2,1,2,2)B.(2,2,2,3,3)C.(1,1,2,2,3)D.(1,2,1,1,2)二、填空题11.若--=x-4+6-x=2,则x的取值范围为4≤x≤6.12.关于x的分式方程--的解是x=-2.13.如图,把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中,已知左眼A的坐标是(-2,3),嘴唇C的坐标为(-1,1),则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后,右眼B的坐标是(3,3).14.如图是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,小亮随机地往大正方形区域内投针一次,则针孔在阴影部分的概率是.14题图15题图15如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是6-π.16.如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°,得到正方形DE'F'G',此时点G'在AC上,连接CE',则CE'+CG'= .三、解答题17.先化简,再求值:---,其中x=,y=解：原式=----=-xy(x-y)=3xy,当x=,y=时,原式=3×()×()=3.18.解不等式组:-把不等式组的解集在数轴上表示出来.解：①-②由①得x≥-1,由②得x<3,∴不等式组的解集是-1≤x<3.在数轴上表示为19.如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;(2)求证:CF=EF.(1)解：△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.(2)证明;如图,连接CE.∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC=AE,∴∠ACE=∠AEC.又Rt△ABC≌Rt△ADE,∴∠ACB=∠AED.∴∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED,即∠BCE=∠DEC.∴CF=EF.20.)在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC为直径作☉O交AB于点D.(1)求线段AD的长度;(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与☉O相切?请说明理由.解：(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm.如图,连接CD.∵BC为直径,∴∠ADC=∠BDC=90°.∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴Rt△ADC∽Rt△ACB.∴.∴AD=(cm).(2)当点E是AC的中点时,直线ED与☉O相切.证明:如图,连接OD,ED.∵DE是Rt△ADC的中线,∴ED=EC.∴∠EDC=∠ECD.∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴直线ED与☉O相切. 21.(10分)某校八年级为了了解学生课堂发言情况,随机抽取该年级部分学生,对他们每天在课堂上的发言次数进行了统计,其结果如下表,并绘制了如图所示两幅不完整的统计图.已知B,E 两组发言人数的比为5∶2,请结合图中相关数据回答下列问题:发言人数直方图发言人数扇形统计图(1)求出样本容量,并补全直方图;(2)该年级共有学生500人,请估计全年级在这天中发言次数不少于12次的人数;(3)已知A组发言的学生中恰有1位男生,E组发言的学生中恰有1位女生,现从A组与E组中分别抽一位学生写调查报告.请用列表法或画树状图的方法,求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率.解：(1)∵B组人数为10,∴E组人数为×10=4,∴样本容量为=50,∴A组人数为50×6%=3;C组人数为50×30%=15;D组人数为50×26%=13;F组人数为50-3-10-15-13-4=5.补全直方图.发言人数直方图(2)∵E,F两组总人数为4+5=9,∴估计全年级在这天中发言次数不少于12次的人数为500×=90.(3)树状图:∴P(一男一女)=.22.已知顶点为P的抛物线C1的解析式为y=a(x-3)2(a≠0),且经过点(0,1).(1)求a的值及抛物线C1的解析式;(2)如图,将抛物线C1向下平移h(h>0)个单位得到抛物线C2,过点K(0,m2)(m>0)作直线l平行于x轴,与两抛物线从左到右分别相交于A,B,C,D四点,且A,C两点关于y轴对称.①点G在抛物线C1上,当m为何值时,四边形APCG为平行四边形?②若抛物线C1的对称轴与直线l交于点E,与抛物线C2交于点F.试探究:在K点运动过程中,的值是否改变?若会,请说明理由;若不会,请求出这个值.解：(1)∵抛物线C1过点(0,1),∴1=a(0-3)2,解得a=∴抛物线C1的解析式为y=(x-3)2.(2)①连接PG,∵点A,C关于y轴对称,∴点K为AC的中点.若四边形APCG是平行四边形,则必有点K是PG的中点.过点G作GQ⊥y轴于点Q,可得△GQK≌△POK,∴GQ=PO=3,KQ=OK=m2,OQ=2m2.∴点G(-3,2m2).∵顶点G在抛物线C1上,∴2m2=(-3-3)2,解得m=±,又m>0,∴m=∴当m=时,四边形APCG是平行四边形.②不会.在抛物线y=(x-3)2中,令y=m2,解得x=3±3m,又m>0,且点C在点B的右侧,∴C(3+3m,m2),KC=3+3m.∵点A,C关于y轴对称,∴A(-3-3m,m2).∵抛物线C1向下平移h(h>0)个单位得到抛物线C2,∴抛物线C2的解析式为y=(x-3)2-h.∴m2=(-3-3m-3)2-h,解得h=4m+4,∴PF=4+4m.23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,(1)图①中共有对相似三角形,写出来分别为(不需证明);(2)已知AB=10,AC=8,请你求出CD的长;(3)在(2)的情况下,如果以AB为x轴,CD为y轴,点D为坐标原点O,建立直角坐标系(如图②),若点P从点C出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB运动,点Q从点B出发,以每秒1个单位的速度沿线段BA运动,其中一点最先到达线段的端点时,两点即刻同时停止运动;设运动时间为t秒,是否存在点P,使以点B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解：(1)题图①中共有3对相似三角形,分别为△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.(2)题图①,在△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10,AC=8,∴BC=-=6.∵△ABC的面积=AB·CD=AC·BC,∴CD==4.8.(3)存在点P,使以点B,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,理由如下:在△BOC中,∵∠COB=90°,BC=6,OC=4.8,∴OB=-=3.6.分两种情况:①当∠BQP=90°时,如图甲,图甲此时△PQB∽△ACB,∴.∴-,解得t=2.25,即BQ=CP=2.25,∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35,BP=BC-CP=6-2.25=3.75.在△BPQ中,由勾股定理,得PQ=--=3,∴点P的坐标为(1.35,3).②当∠BPQ=90°时,如图乙,图乙此时△QPB∽△ACB,∴.∴-,解得t=3.75,即BQ=CP=3.75,BP=BC-CP=6-3.75=2.25.过点P作PE⊥x轴于点E.∵△QPB∽△ACB,∴,即,∴PE=1.8.在△BPE中,BE=-=-=1.35.∴OE=OB-BE=3.6-1.35=2.25.∴点P的坐标为(2.25,1.8).综上可得,点P的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8).。