KM－SIR模型
S
SI
I
I
R
dS SI,
dt
dI SI I ,
dt
dR I.
dt
这里 为恢复率．记
．
R0
S (0)
研究结果表明，当 R0 1 时，疾病流行；当 R0 1 时，疾病不会流
行． R0 1 是区分疾病流行与否的阈值．Kermack和Mckendrick的建
模思想对流行病模型的动力学研究方法上起了 基本的指导作用．此外
由于在人群中进行流行病的实验是不现实的，因此对流行病进行 理论分析就显得十分重要．流行病学数学模型(mathematical model)又称数学流行病学(mathematical epidemiology)和理论流 行病学(theoretical epidemiology)，它使用数学公式明确地和定量 地表达病因、宿主和环境之间构成的疾病流行规律，同时从理论 上探讨不同防制措施的效应．
1760年，D.Bernoulli为了研究天花建立了有史以来第一个流行病模型。
D Bernoulli. Essai d‘une nouvelle analyse de la mortalite causee par la petiteve role et des avantages de l’inoculation pour al prevenir, in Memoires de Mathematiques et de physique. Paris: Academie Royale des Sciences, 1760, 145.
传染病动力学模型建模与分析
传染病动力学模型建模与分析
流行病历来就是危害人类健康的大敌，历史上流行病一次又一次 的流行给人类生存和国计民生带来了巨大的灾难。世界卫生组织 （WTO）发表的世界卫生报告表明，流行病依然是人类的第一杀 手。目前全球60亿人口中约有半数受到各种不同流行病的威胁。 以1995年为例，全世界死亡共5200万人，其中1700万人丧生于 各种流行病．
1
是平均患病期。
继Kermack和Mckendrick之后，传统的流行病动力学模型有了很大的发展． 从模型上来说，模型越来越越完善，与实际情况越来越接近．从模型形式 上可以分为常微分方程流行病模型、带时滞地流行病模型、具有脉冲效应 的流行病模型、具有年龄结构的流行病模型．目前，对流行病的研究主要 有四种主要方法：描述性研究，分析性研究，实验性研究和理论研究．在 理论研究中，各种各样的研究方法的的出现从一定程度上推动了数学的发 展．除一些经典的方法(如Routh-Hurwitz判据，LaSalle不变集原理等)外， 分歧、混沌、普适开折等动力系统方法，度理论，算子半群理论以及一些 非线性分析的方法也被相继引入，计算机模拟也被国内外普遍使用．
R
A
SI S
E
E
I I
R
dS
dE
dI I
dR
对于KM－SIR模型我们得到了区分疾病是否流行得阈
值
R0
S (0)
可见R0表示发病初期，人群中全是易感者，一个病人
在其平均患病期内所传染得人数，称为基本再生数。
寻找传染病模型得基本再生数是研究传染病模型得核心 问题，即所谓的阈值理论。
平均寿命与平均染病年龄
设N(a)为某群体中在年龄a时仍然存活的个体数，时间
一个个体到了年龄a时仍然活着的概率。于是此群体在年龄段 (0,a]死亡概率应为 1 ea。把死亡年龄看作一随机变量x，从而 有概率
P(0 x a) 1 ea a exdx 0
所以随机变量x的密度函数为 ex ，随机变量x的数学期望为
xexdx 1
0Hale Waihona Puke 1数学期望的含义可知， 寿命
表示此群体的平均死亡年龄，即平均
反过来，因为年龄为a的存活者在初始人口中所占的比例符合一 种指数分布。
具有常数输入双线性发生率的SIRS传染病模型
R
A
SI
SSI
I
I R
dS
dI I
dR
S'(t) A SI dS R I '(t) SI (d )I R'(t) I (d )R
具有潜伏期的SEIRS传染病模型
有效接触率为 k 仍记作 ，那么疾病得发生率为
U (N) S I S I
N
N
这种发生率成为标准发生率。
接触率的性质
当N＝0时，那么
U (0) 0
随着N的增大，U（N）不减，即
U'(N) 0
随着N的增大，平均每个人接触的次数不增，即
U (N) ' 0 N
基本再生数（Basic Reproductive Number）
传病动力学中的几个基本概念
有效接触率与疾病发生率
设病人传染是通过与他人接触形成的。 单位时间内一个病人与他人 接触的次数成为接触率（contact rate）。它通常依赖于环境中的总人 数(N), 记作（U（N））。 如果被接触者是为易感者，就会有一定程度
的传染，设每次接触传染的概率为 ，我们把U(N) 成为有效接触率。
与年龄同尺度， 为自然死亡率系数，即单位时间内
死亡的个体数在本成员总数中所占的比例。于是，在
年龄a时单位时间内死亡的个体数为
N
。即
(a)
dN(a) N(a)
da
设
.从而由上述方程得
N (0) N0
N (a) N0ea
或
ea N (a) N0
可见 ea 表示此群体年龄为a的存活者在初始人口中的比例，即
1927年，Kermack与Mckendrick 提出了“仓室建模”的思想，并 且一直沿用至今，成为流行病研究方展史的一个里程碑．他们将 总人口(N(t))分为三类(即三个仓室)：易感者类(Susceptible)， 其数量记为(S(t))，表示t时刻未感染但有可能被传染的人数；染 病者类(Infective)，其数量记为(I(t))，表示t时刻已被感染成 病人且具有传染力的人数；恢复者类(Recovered)，其数量记为 (R(t))，表示t时刻从染病者类恢复的人数．他们取接触率为双线 性形式( SI)，不考虑因病死亡和人口输入，建立了如下SIR传染 病数学模型
病人接触非易感者不会传染，因此每个病人平均对易感者的有效接触率 为
U(N) S
N
一共有I个病人，则单位时间内的新生病人数为
U (N) S I
N
上式称为疾病的发生率(incidence)。
对于具体的传染病模型，发生率一般有如下两种形式。
双线性发生率（Bilinear Incidence）
假定接触率与环境内总人口成正比，即
U(N) kN
有效接触率为 kN 仍记作 N，那么疾病得发生率为
U (N) S I SI
N
这种发生率成为双线性发生率，或简称简单质量作用率（simple mass action law)。
标准发生率（Standard Incidence）
假定单位时间内一个病人所能接触得人数是有限得，即
U(N) k