n! 基本解的数目不超过 C m!n m !
m n
解的集合： 解空间
非 可 行 解
可 行 解
基 本 可 行 解
最 优 解
基 本 解
(2) 解的基本性质
判别可行解为基可行解的准则
定理1 线性规划问题的可行解是基可行解的充要 条件是它的非零向量所对应的列向量线性无关.
线性规划问题的基本定理:定理2和定理3
X1
X(1)
单纯形法小结： 单纯形法是这样一种迭代算法——如下图… 当Zk中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基本可 行解Xk即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
X1
保持可行性
X2
保持可行性
X3
保持可行性
...
保持可行性
Xk
保持单调增
保持单调增
保持单调增
保持单调增 ...
Z1
Z2
Z3
Zk
当Zk 中非基变量的系数全为负值时，这时的基本可 行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
BX B b NX N
X B B 1b B 1 NX N
B 1b B 1 NX N X X N
令 则
XN 0
B 1b X 0
定义 在约束方程组(2) 中，对于 一个选定的基B，令所有的非基变 量为零得到的解，称为相应于基B 的基本解。
第五章 单纯形法
1. 线性规划问题的解 2 单纯形法 3 求初始基的人工变量法
1.线性规划问题的解
Max
(1) 解的基本概念
Z CX AX b X 0
1 2 3
s.t
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系 数矩阵A(假定 m n)的任意一个 m m 阶的 非奇异(可逆)的子方阵B(即 B 0 )，称 为线性规划问题的一个基阵或基。
X2
X2 X2
30/
2 2 2
60/
24/
X2 = min ( 30/2 , 60/2 , 24/2 ) =12 X2 ：进基变量， X5 ：出基变量。
B2=( P3 P4 P2 )
Z= 0 + 40 X1 + 50 X2
X3 + 2X2 = 30 - X1 2X2 = 24 - X5 X4 + 2X2 = 60 - 3X1
3) bi’> 0( I = 1 , 2,…,m ),即X(0)为非退化的基可行解。
则从X(0)出发，一定能找到一个新的基可行解X(1)，使得 CX(1) > CX(0) 。
(5) 单纯形表
将线性规划问题典式中各变量及系数填写在一张 表格中，该表即为单纯形表。
cj CB 0 基 xn+1 c1 x1 a11 c2 x2 a12 … … … cn xn a1n 0 xn+1 1 0 … 0 S b1
(2)" ∵ 15>0
∴ X(3)不是
(3)" 选X5从0↗， X3 =0
X1=6 +X5 0
X4= 18 -2X5 0
X2=12-1/2 X5 0
X5=min( 18/2 , 12/1/2 ) =9 X5进基， X4出基。
B4=(P1 P5 P2 ) Z=975- 35/2X3 - 15/2X4 X1= 15 + 1/2X3 - 1/2X4
+X5 =24
解：(1)、确定初始可行解 B = ( P3 P4 P5 ) = I Z = 0 + 40X1 + 50X2
X3 = 30 - ( X1 + 2X2 )
X4= 60 - ( 3X1 + 2X2 )
X5 = 24
令X1 = X2 =0
- 2 X2
X(1) =(0, 0, 30, 60, 24)T
定理2 线性规划问题有可行解,则它必有基可行解.
定理3 若线性规划问题有最优解,则一定存在一个 基可行解是它的最优解.
几点结论

若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点); 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点); 若线性规划问题有最优解,则最优解必可在基可行解 (极点)上达到;
B N I b
- C B B -1 B -1
B-1
-CB B-1
- C B B -1b -1 B b
B-1b
CBB-1b
I
0
B-1N
CN -CB B-1N
CB
CN
0
0
对应I 式的单纯形表—— I 表(初始单纯形表)
价值系数cj 基系数 0 基 Xs
CB XB B B 0 CB CB



线性规划问题的基可行解(极点)的个数是有限的,不会 m C 超过 n 个.
上述结论说明:
线性规划的最优解可通过有限次运算在基可行解中获得.
2 单纯形法
(1)单纯形法的引入

例1 Max Z=40X1 +50X2
X1 +2X2 +X3 3X1 +2X2 2X2 X1 … X5 0 +X4 =30 =60
- z C B X B C N X N 0X s 0 BX B NX N IX s b
1 CB 0 B CN N


0 0 1 CB I b 0 I
CN B -1 N
0 B -1
0 -1 B b
1 0 C N C B B -1 N -1 0 I B N
定义 在基本解中，若该基本解满足非负约束， 即 X B B 1b 0 ，则称此基本解为基本可行解，简 称基可行解；对应的基B称为可行基。
基本解中最多有m个非零分量。
个。 定义 在线性规划问题的一个基本可行解中，如果 所有的基变量都取正值，则称它为非退化解，如 果所有的基本可行解都是非退化解。称该问题为 非退化的线性规划问题；若基本可行解中，有基 变量为零，则称为退化解，该问题称为退化的线 性规划问题。
XB Z CX C B C N X CB X B CN X N N C B B 1b B 1 NX N C N X N


C B B b C B B NX N C N X N
-1 -1
C B B - 1b C N C B B 1 N X N


(3) 最优性判别定理
在线性规划问题的典式中，设 X(0)=(x1,x2,…,xm,0,…,0) 为对应于基B 的一个基可行解，若有
j 0 ( j = m+1 , m+2 , … , n )
则X(0)是线性规划问题的最优解，基B为最优基。
证：设X为线性规划问题的一个可行解，必有 X 0 ，当 j 0， 则 X 0 Z*=CX(0) = Z(0) Z(0) + X =CX 故X(0)为线性规划问题的最优解。
a11 a 21 A a m1
a12 a 22
a1m a2m
a1m1 a 2 m 1 a mm1
a1m 2 a2m 2 a mm 2
a m 2 a mm
a1n a2n a mn
a1n a2 n amn
T
非 基 向 量
x2 xm
X N xm 1 xm 2 xn
非基变量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基变量
A B N
AX b
XB B N X b N
XB X X N
XB X X N
BX B NX N b
z CX AX b X 0
Max z C B X B C N X N 0X s BX B NX N IX s b s .t X B , X N , X s 0
Max Z C B B 1b C N C B B 1 N X N X B B 1 NX N B 1b s .t X B 0 , X N 0
(4) 基可行解改进定理
在线性规划问题的典式中，设
X(0)=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
为对应于基B 的一个基可行解，若满足以下条件： 1) 某个非基变量的检验数 k > 0 ( m+1 k n );
2) aik ( i = 1,2,…,m )不全小于或等于零，即至少有一个 aik > 0 ( 1 k m );
CN XN N N 0 CN CN
0 XS I I 0 0 0
S b b 0 0 S
θ
zj 检验数σj
迭代
价值系数cj 基系数 CB 基 XB CB XB I I 0 CB 0
对应B 式的单纯形表—— B 表 CN XN B-1 N -1 B N CN -CB -1 B-1N CB B N CN -CB B-1N 0 XS -1 B-1 B -1 -CB B CB B-1 -CB B-1 S B-1-1 b B b CBB-1b S-CBB-1b θ
X5= 9 + 3/2X3 - 1/2X4
X2= 15/2 -3/4X3 + 1/4X4 令X3 =X4 =0 X(4) =(15, 15/2 , 0, 0 ,9 )T Z(4) =975
X2 X(2) X(3)
B
(6,12)
(0,12) A (15,7.5)
X(4) C
(0,0) 0
D
Z=40X1+50X2