2020年广东佛山高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.3.已知，，且，则（ ）．A. B. C. D.4.函数的图象向左平移一个单位长度，所得图象与关于轴对称，则（ ）．A.B.C.D.5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）．A.B.C.D.6.已知等比数列满足，，则使得取得最大值的为（ ）．A.B.C.D.7.已知为锐角，，则（ ）．A.B.C.D.8.已知双曲线，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）．A.B.C.D.9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发电，近年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心，以下是近年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．近年全球风力发电累计装机容量（）近十年中国风力发电新增装机容量（）根据以上信息，正确的统计结论是（ ）．A.截止到年中国累计装机容量达到峰值B.年来全球新增装机容量连年攀升C.年来中国新增装机容量平均超过D.截止到年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过10.已知函数，且，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.11.已知函数﹐现给出如下结论：①是奇函数：②是周期函数：③在区间（, )上有三个零点；④的最大值为．其中正确结论的个数为（ ）．A.B.C.D.12.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，用一个平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于点，，，若为直角三角形，则面积的最大值为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.从进入决赛的 名选手中决出 名一等奖， 名二等奖， 名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）14.在中，，．是边的垂直平分线上一点，则 ．15.函数和的图象有公共点，且在点处的切线相同，则这条切线方程为 ．16.在平面直角坐标系中，对曲线上任意一点，到直线的距离与该点到点的距离之和等于，则曲线与轴的交点坐标是 ；设点，则的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.绿水青山就是金山银山，近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展，景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调元，游客选择带走照片的可能性平均增加，假设平均每天约有人参观该特色景点，每张照片的综合成本为元，假设每个游客是否购买照片相互独立．（1）（2）若调整为支付元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少?要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价?（1）（2）18.在中，内角，，的对边分别为，，，已知．求．是线段上的点，若，，求的面积．（1）（2）19.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线与椭圆交于，两点，交于点．求椭圆的方程．已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度．（1）（2）20.如图，三棱锥中，，，点，分别是棱，的中点，点是的重心．ABCPEFG 证明：平面．若与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积．（1）（2）21.已知函数，．求的最小值．证明：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，计10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线．【答案】解析:∵复数，∴复数在复平面内对应的点为，在第一象限．故选．解析:集合．集合或．则．即．故正确．解析:函数的图象关于轴对称的图象的函数解析式为，而函数的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线的图象关于轴对称，已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：．（1）（2）23.已知函数．若，求的取值范围．当时，函数的值域为，求的值．A1.D2.C3.A4.所以函数的解析式为：，即．故选．解析:由图可知，空白部分面积是原三角形面积的，且剩于三部分黑色区域为全等的等边三角形，记大正三角形面积为，∴图中，白色部分面积为：，∴黑色区域面积为，∴所求概率为．故选．解析:∵等比数列中，，，∴，解得，，．则取最大值为．．故正确．解析:∵为锐角，，∴，．B 5.B 6.D 7.由，则，，，解得或（舍去），，．故选．解析:因为双曲线的渐近线方程为，令右端点为，又因为直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，则，，则，由是边长为的等边三角形，则，则，又，则，所以，，所以双曲线的方程为．A 8.故选．解析:注意到：．且，又，∴恒成立，单调递增，．故选．解析:①∵而∴为奇函数，对．②∵，∴，∴，∴①，使，，将代入①，∴，D 9.B 10.B 11.于是对每个，，由于，∴，∴，，∴，，，于是，矛盾，错．③∵，令，∴，令，，当时，，故有三个交点，对．yxO④∵，当取最大为时，，当取最大为时，，∴，∴，才能使取最大，即，，又∵，均为，∴不成立，④错，综上，①③对．解析:平面，，与三棱柱相截假设与重合，设，，，，∵为直角三角形不妨设，∴，解得：，得，设面积为，∴，，令，∴，∴在单减，单增，又∵，，∴，，∴．故选．解析:C 12.13.第一步决出一等奖名有种情况，第二步决出二等奖名有种情况，第三步决出三等奖名有种情况，故可能的决赛结果共有＝60种情况．14.解析:取的中点，由条件得：．所以．故答案为：．15.解析:设函数与的公共点，由，，∴有，解得，，，，∴切线斜率，∴切线方程为即．故答案为：．（1）解析:∵点到的距离与点到点的距离之和为，设，则有，令，有，∴．∴与轴交点坐标．，故考虑上式最小值．令，，，∴，“”当且仅当，时取得．解析:当收费为元时，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为，设每个游客的利润为（元），这是随机变量，其分布列为：元，则个游客的平均利润为元．;16.，，（1）该项目每天的平均利润比调整前多元．（2）定价为元时，每天的平均利润达到最大值．17.（2）（1）（2）当收费为元时，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为，设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：元，则则个游客的平均利润为元．该项目每天的平均利润比调整前多元．设降价元，则，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为，设每个游客的利润为（元）．则是随机变量，其分布列为：当时，有最大值元，即当定价为元，日平均利润为元．解析:由正弦定理，可得．则有，化简得．即，∵，则．设，，由题意得，，，，在中，，则．∴，得．结合，可得，．则．，（1）．（2）．18.（1）（2）（1）∴．解析:由题意得，，结合，解得，，．故所求椭圆的方程为．易知定直线的方程为．联立，整理得，解得，无妨令点坐标为．∵，有对称性可知，点为的中点，故点坐标为．又在直线上，故，解得，．故点坐标为或．所以或，所以的长度为或．解析:∵，是的中点，∴．（1）．（2）或．19.（1）证明见解析．（2）．20.（2）∵，是的中点，∴，又，，∴≌，∴，即．又，∴平面．连接并延长交于点，PA BCOFE G则点为的中点，连接，则，由（）得平面，∴为与平面所成的角，即，又在中，，∴，．∵是的重心，，分别是，的中点，∴，．∵，，，分别是，中点，∴，，．则在中，，∴．所以三棱锥的体积．（1）（2）（1）（2）解析:，令，得．故在区间上，的唯一零点是．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故在区间上，的极小值为．当时，，所以的最小值为．要证：时，，即证：时，．，令，，则，即是上的增函数．∴，即．∴，∴．即是上的增函数，，故当时，．解析:由，得，代入，得，即．∴的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线．设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）．与联立得．（1）．（2）证明见解析．21.（1）的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线．（2）证明见解析．22.（1）（2）设方程的两个解为，，则．∴．则．∴．解析:，得．即，∴的取值范围是．当时，函数在区间上单调递增．则，得．，得．当时，，则，得．，得．综上所述，的值为或．（1）．（2）或．23.。