第6讲 幂函数与二次函数
一、选择题
1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝
⎛
⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( )
A.1
4 B ．4 C.22
D. 2
解析 设f (x )＝x α，因为图像过点⎝
⎛⎭⎪⎫4，
12，代入解析式得：α＝－1
2
，∴f (2)＝2－12＝2
2.
答案 C
2．若函数f (x )是幂函数，且满足
f
4f 2＝3，则f (1
2
)的值为( )
A ．－3
B ．－1
3
C ．3
D.1
3
解析 设f (x )＝x α，则由
f 4f 2＝3，得4α
2
α＝3.
∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝1
3.
答案 D
3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为
( )．
A ．[2－2，2＋2]
B ．(2－2，2＋2)
C ．[1,3]
D ．(1,3)
解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2. 答案 B
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x ，x >0，
x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )．
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎨⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎨⎧
a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A
5 .函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－
b
2a
对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．
A ．{1,2}
B ．{1,4}
C ．{1,2,3,4}
D ．{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2.
而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－
b
2a
对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642
. 答案 D
6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是
( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝1
2，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，
a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5. 答案 C 二、填空题
7．对于函数y ＝x 2
，y ＝x 12
有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．
其中正确的有________．
解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案 ①②⑤⑥
8．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．
解析 由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，
4ac －16
4a ＝0⇒⎩
⎨⎧
a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4
9．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵⎩⎨
⎧
α＋β＝m ，
α·β＝1，
∴m ＝β＋1
β
.
∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋
1
β
在(1,2)上是增函数，
∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈
⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，52. 答案 ⎝
⎛
⎭⎪⎫2，52
10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．
解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是
2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎨⎧
m <0，
2m <－(m ＋3)，2m <－4，
－(m ＋3)<1
或⎩⎨⎧
m <0，
－(m ＋3)<2m ，2m <1，
－(m ＋3)<－4，
解第
一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－
4，－2)． 答案 (－4，－2) 三、解答题
11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达
式．
解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n
，由点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，18在函数图象上，求得n ＝3.
令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，
∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．
解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，
由于x ∈[－4,6]，
∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，
又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，
所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6 或a ≥4.
(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，
∴f (|x |)＝x 2
＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，
且f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋2x ＋3，x ∈0，6]
x 2
－2x ＋3，x ∈[－6，0]，
∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
13．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．
解 不等式ax 2－2x ＋2>0等价于a >2x －2
x 2
，
设g (x )＝
2x －2
x 2
，x ∈(1,4)，则 g ′(x )＝2x 2－
2x －2
2x x 4
＝
－2x 2＋4x
x 4
＝－2x
x －2
x 4
，
当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，
g (x )≤g (2)＝1
2
， 由已知条件a >1
2
，
因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞.。