例1 求不定积分 xe xdx.
解：设 u x , exdx d(ex ) dv, 则
xe xdx xd(e x ) xe x e xdx xex e x C.
若设 u e x , xdx= d( 1 x2 ) = dv, 则
2
xe xdx exd( 1 x2 ) 1 x2e x 1 x2dex
x sin x cos x C.
总结1：如果被积函数是幂函数（指数为正整数） 与三角函数或者幂函数与指数数函数的乘积时， 我们选幂函数为 u
例3 求不定积分 x arctan xdx.
解：设 u arctan x,
x2 xdx d( ) dv
2

x
arctan
x dx


arctan
x d(
x2 2
)
x2 arctan x 2
x2 2

1
1 x
2
dx
x2 arctan x 2
1 2

(1

1
1 x
2
)
dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C.
2
2
例4 求不定积分 x ln x dx .
解: 令 u ln x , xdx d ( x2 ) dv
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
2
显然 , u 和 v 选择不当，积分更难进行.
注1：在分部积分公式中，关键是选择恰当的u和v
例2 求不定积分 x cos xdx .
解：设 u x, cos xdx d(sin x) dv
则 x cos x dx x d(sin x) x sin x sin x dx
积时，任意选择其中一个函数为 u
2
于是：原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
2
2
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
总结2：如果被积函数是幂函数与反三角函数或者 幂函数与对数函数的乘积，我们不选幂函数为 u
例5 求不定积分 e x sin xdx. 解： e x sin xdx e xd( cos x)
不定积分的分部积分法
西安工业大学 理学院 李艳艳
问题 xe xdx ? x cos xdx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数 u=u(x) 和 v=v(x)具有连续导数, (uv) uv uv , uv (uv) uv ,
uvdx uv uv dx , 分部积分公式 udv uv vdu .
e x cos x e x cos xdx
ex cos x cos xd(ex ) e x sin x dx
注2：在两次分部积分中，必须选择同类型的 u
例5 求不定积分 e x sin xdx. 解： e x sin xdx e xd( cos x)
e x cos x e x cos xdx e x cos x e xd(sinx)
注意循环 形式
于是：
e x (sin x cos x) e x sin x dx
e x sin x dx e x (sin x cos x) C. 2
总结3：如果被积函数是指数函数与三角函数的乘