2011 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a=（A ）2 （B (D)1（2）已知M,N 为集合I 的非空真子集，且M,N 不相等，若1,N C M M N ⋂=∅⋃=则 (A)M (B) N (C)I (D)∅(3)已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 (A)34 (B) 1 (C)54 (D)74（4）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ba=(A) (B) (C)（5）从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B ︱A )= (A)18 (B) 14 (C) 25 (D)12（6）执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2（7）设sin1 += 43πθ（），则sin2θ=(A)79-(B)19-(C)19(D)79（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确．．．的是(A) AC⊥SB(B) AB∥平面SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角（9）设函数f（x）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1xxlog-11x22x-1则满足f（x）≤2的x的取值范围是（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+∞）（D）[0，+∞）（10）若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，则c-ba+的最大值为（A）1-2（B）1 （C）2（D）2（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（A）（-1，1）（B）（-1，+∞）（C）（-∞，-1）（D）（-∞，+∞）（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=3，︒=∠=∠30B SCASC，则棱锥S-ABC的体积为（A ）33 （B ）32 （C ）3 （D ）1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.(14)调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________.（16）已知函数f （x ）=Atan （ωx+ϕ）（ω＞0，2π＜ω），y=f （x ）的部分图像如下图，则f （24π）=____________.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列的前n 项和。
（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12 PD。
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值。
19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验。
选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙。
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，…，x a的样本方差，其中x为样本平均数。
（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。
（I）设12e ，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由(21)(本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2=（2-a）x.(I)讨论f（x）的单调性；（II）设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f（1a+x）＞f（1a-x）；（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（x0）＜0.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。
（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为曲线C2的参数方程为在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=a 与C 1，C 2各有一个交点。
当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=2π时，这两个交点重合。
（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当a=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当a=-4π时，l 与C 1， C2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|。
（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 主题1. a 为正实数，i 为虚数单位，2=+iia ，则=a A ．2 B 3 C 2D ．1 难度 易 正确答案B提示一 本题考查复数和模的运算，考查学生基本计算能力，清晰分母实数化是解题的前提. 提示二 首先化简复数，然后利用模的运算得到含有a 的等式，进而求解. 提示三 21()12,1a i ai a i +-+==-+=即23a =，又a Q 为正实数，3a ∴=提示四 提示五主题2. 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若I N ð=M I ∅，则=N M Y A ．MB ．NC ．ID ．∅ 难度 易 正确答案A提示一 本题考查韦恩图的应用，考查学生数形结合能力，清晰集合的概念是解题的前提. 提示二 根据I N ð=M I ∅画出韦恩图，然后明确.M N U 提示三 作出满足条件的韦恩（Venn ）图，易知M N M =U 提示四 提示五主题3. 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 A ．34B ．1C ．54D ．74难度 中 正确答案C提示一利用转化思想得到AM BN AF +=+BF 是解题的关键. 提示二 利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标提示三如图，由抛物线的定义知，AM BN AF +=+33,,2BF CD ==所以中点C 的横坐标为315244-=.提示四提示五主题4. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin cos ,a A B b A +=，则=abA ．B ． CD 难度 易正确答案D提示一 此题考查解三角形，考查学生目标意识能力，清晰正弦定理是解题的前提. 提示二 利用正弦定理将已知表达式中的边转化为角是解题的关键.提示三2sin sin cos 2,a A B b A a +=Q 由正弦定理可得：22sin sin sin cos 2,A B B A A +=sin 2B A ∴=,即2ba=提示四 提示五主题5. 从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和 为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=A ．18 B ．14C ．25D ．12难度 中 正确答案B提示一 此题考查古典概率，考查学生识别事件的能力，清晰事件的计算公式是解题的前提. 提示二 准确计算出()()P A P AB 、是解题的关键.提示三222232225541(),()1010C C C P A P AB C C +====Q ,()1()()4P AB P B A P A ∴==.提示四提示五主题6. 执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．2 难度 中 正确答案C提示一 本题考查流程图，考查学生的识图能力.清晰框图的流程过程是解题的前提. 提示二 抓住流程图的限制条件k n <是解题的关键. 提示三 初始值1,0,1,1,p s t k ====循环开始，第一次:1,1,1,2,p s t k ====第二次:2,1,2,3,p s t k ====第三次:3,2,3,4,p s t k ====此时，k n <不成立，跳出循环，输出3p =. 提示四 提示五 主题7. 设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ= A ．79-B ．19-C ．19D ．79难度 中 正确答案A提示一 此题考查三角函数求值，考查学生划归能力，清晰两角和的公式和二倍角公式是解题的前提.提示二 利用平方技巧过渡是解题的关键. 提示三 由1sin(),43πθ+=得221sin cos ,223θθ+=即2sin cos ,3θθ+=两边平方，得 21sin 2,9θ+=7sin 29θ∴=-.提示四提示五主题8. 如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， 则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 难度 中 正确答案D提示一 此题考查立体几何的位置关系和角的判断，考查学生的空间形象能力.清晰线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理和线面角、异面直线所成的角的定义是解题的前提. 提示二 采用逐一判断的方法进行分析.提示三,,,SD ABCD AC ABCD SD AC ABCD ⊥⊂∴⊥Q Q 面面又为正方形，,,AC BD SD BD D ∴⊥⋂=又,.AC SBD AC SB ∴⊥⊥面故A 对； ,,AB CD CD CDS AB CDS AB SCD ⊂∴Q ∥面在面外，∥面,故B 对；设,AC BD O ⋂=由上面的分析知，ASO CSO ∠∠与分别是,SA SBD SC SBD 与面与面所成的角，易知ASO CSO ∠∠与相等，故C 对；选D. 提示四 提示五主题9. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞]D ．[0，+∞] 难度 中 正确答案D提示一 此题考查分段函数的性质，考查学生转化能力，清晰分段函数的性质是解题的前提. 提示二 判断函数在定义域上的单调性是解题的关键. 提示三 易知，()f x R 在上是减函数，由122,0,xx -==得所以x 的取值范围是[)0+∞，.提示四提示五主题10. 若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为A ．12-B ．1C ．2D ．2 难度 难 正确答案B提示一 此题考查向量模的最值.考查学生运算能力.清晰数量积的运算是解题的前提. 提示二 利用将||c b a -+平方的技巧进行转化是解题的关键.提示三2)()()1()0,a c b c a b a b c c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+⋅≤r r r r r r r r r r r r rQ （()1;a b c ∴+⋅≥r r r222222()2()2()32()a b c a b a b c c a b c a b c a b c+-=+-+⋅+=++-+⋅=-+⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r r 321≤-=.提示四 提示五主题11. 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞） 难度 中 正确答案B提示一 此题考查不等式的解法，考查学生构造能力，通过42)(+>x x f 构造函数()()(24)h x f x x =-+是解题的前提.提示二 利用求导判断函数()()(24)h x f x x =-+单调性是解题的关键.提示三设''()()(24),()()2h x f x x h x f x =-+=-则0>,故()h x R 在上单调递增，又(1)(1)20h f -=--=所以当1x >-时，()0h x >，即()24f x x >+.提示四 提示五主题12. 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，30ASC BSC ∠=∠=o，则棱锥S —ABC 的体积为 A ．33 B ．32 C ．3D ．1 难度 难 正确答案C提示一 此题考查棱锥的体积，考查学生的画图能力和空间想象能力.利用题设条件准确画出图形是解题的前提.提示二 明确三棱锥的底面面积和高是解题的关键. 提示三 如图，过AB 作与直径SC 垂直的球的截面，交SC 于点D ，在Rt SAC ∆中，cos30sin 30SA SC AD SA =⋅=⋅oo同理BD ABD =∆故为正三角形.1160423ABD S ABC S V ∆-==⨯=o 提示四提示五二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．主题13. 已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ． 难度 易正确答案 2提示一 此题考查双曲线的离心率，考查学生基本知识掌握情况，清晰双曲线的几何性质是解题的前提.提示二 利用点在曲线上和焦距得到方程组是解题的关键. 提示三22491a b -=与224a b +=联立，求得1a =，所以2c e a==. 提示四提示五主题14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．难度 易正确答案0.254提示一 此题考查回归方程，考查学生的基础知识掌握情况，清晰归回方程的含义是解题的前提.提示二 利用321.0254.0ˆ+=x y求解“年饮食支出平均增加量”是解题的关键. 提示三 家庭收入每增加1万元，对应的回归直线方程中的x 增加1，相应的ˆy的值增加0.254，即年饮食支出平均增加0.254万元.提示四 提示五主题15. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ． 难度 中 正确答案 23提示一 此题考查几何体的三视图，考查学生的分析解决问题能力和空间形象能力，清晰三视图的观察方法是解题的前提.提示二 根据俯视图和左视图得到几何体的性质是解题的关键. 提示三如图，设底面边长为a ，则侧棱长也为a ，233a ⋅=，故38,2a a ==.左视图与矩形11DCC D 相同，11323DCC D S a =⋅=四边形提示四 提示五主题16. 已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），1C1D1AABCD1By =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf ．难度 中提示一 此题考查函数解析式，考查学生视图能力，清晰A ωϕ、、的含义是解题的前提. 提示二 利用函数图象得到周期，利用点308π（，）代入解析式确定ϕ，利用（0,1）代入解析式确定A ，进而明确函数的解析式，然后求()24f π.提示三 由图知，3=-==22882T T πππω∴∴，，,()tan(2),f x A x ϕ∴=+将308π（，）代入得，3tan(2+=08A πϕ⨯）即3tan()0,4πϕ+=又ϕ2π<，=4πϕ∴.()sin(2).4f x A x π∴=+又(0)1,tan1, 1.()tan(2)tan 4242443f A A f πππππ=∴=∴=∴=⨯+==提示四提示五三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 主题17．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 难度 中正确答案（I ）2n a n =-；（II ）1.2n n n S -=提示一 本题考查等差数列的通项公式和递推数列数列求和，考查学生应用方程思想的解题能力和划归能力.清晰等差数列的基本量思想以及错位相减法是解题的前提.提示二 (1)中，利用等差数列的通项公式得到两个方程，解得1a d 、；（2）中通过观察数列的通项公式的结构特点，采用错位相减法求⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和. 提示三 （I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分（II ）设数列1{}2n n n a n S -的前项和为，即2111,122n n n a a S a S -=+++=L 故， 12.2242n n n S aa a =+++L 所以，当1n >时，1211111222211121()2422121(1)22n n n n n nn n n nS a a a a aa n n------=+++--=-+++--=---L L=.2nn 所以1.2n n n S -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分 提示四提示五主题18. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 难度 中正确答案（I ）详见提示; （II ）15.-提示一 此题考查面面垂直的证明和二面角的求解.考查学生的空间想象能力和利用空间向量处理问题的能力.清晰面面垂直的判定定理和利用向量法求解二面角的步骤是解题的前提. 提示二 (1)利用数量积为0，证明PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，然后利用线面垂直证明面面垂直；（2）确定两个半平面的法向量，利用向量夹角公式求解二面角的余弦值.提示三 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-u u u r u u u r u u u r所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r即,,PQ DQ PQ DC ⊥⊥故PQ ⊥平面DCQ.又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--u u u r u u u r设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩u u u ru u u r即 因此可取(0,1,2).n =--设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r可取(1,1,1).cos ,m m n =<>=所以 故二面角Q —BP —C的余弦值为5-………………12分 提示四 提示五主题19. （本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅+-，其中x 为样本平均数．难度 中正确答案（I ）2; （II ）选择种植品种乙提示一 此题考查随机变量的分布列期望以及样本平均数和样本方差.考查学生的对事件的识别能力和计算能力.确定X 的取值和准确记忆期望、样本平均数和样本方差的计算公式是解题的前提.提示二(1)根据题意，明确X 的取值，利用随机事件的概率公式mP n=进行计算，然后利用期望公式求解；（2）利用样本平均数和样本方差的公式分别计算两种情况下数值，通过数值大小比较确定选择哪一种品种.提示三（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且132244444448883144448811818(0),(1),(2),703535811(3),(4).3570C C C CP X P X P XC C CC CP X P XC C===============即X的分布列为………………4分X的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………6分（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS=+++++++==+-+-++-+++=甲甲………………8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8xS=+++++++==+-+++-++-+=乙乙………………10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. ………………12分提示四提示五主题20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设12e=，求BC与AD的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．难度难正确答案（I ）3.4（II）当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. 提示一 此题考查椭圆和直线的位置关系和探索性问题.考查学生对数形结合和分类讨论的理解，以及计算能力.利用直线和椭圆联立得到交点坐标和BO//AN 得到斜率相等是解答本题的前提.提示二 (1)根据离心率相同设出两个椭圆方程,利用直线l 和椭圆联立，确定A 和B 的坐标，进而表示出BC 与AD ；（2）利用BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，得到e t 、的表达关系式，通过t 的范围和函数关系确定e 范围，进而明确是否存在直线l ，使得BO ∥AN .提示三（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>设直线:(||)l x tt a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,2A B e b y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即,a b t t a=-解得222221.ab e t a a b e-=-=-⋅-因为221||,01,1, 1.2e t a e e e-<<<<<<又所以解得所以当02e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；1e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分提示四 提示五主题21. 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0． 难度 难正确答案 (1)1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. （II ）（III ）详见提示.提示一 本题考查函数的单调性、不等式的证明.考查学生灵活应用分类讨论思想、等价转换思想的能力和构造函数证明不等式的解题能力.清晰导数法研究函数的单调性、构造函数11()()()g x f x f x a a=+--和借助前一二问结论解决第三问的意识是解题的前提.提示二(1)首先明确函数的定义域，利用求导和对a 进行分类确定函数的单调区间；（2）利用构造函数11()()(),g x f x f x a a=+--通过求导确定其最小值大于0；（3）借助第一问和第二问的结论进行证明.提示三（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=- （i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得 且当11(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. ………………4分（II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11()().f x f x a a+>- ………………8分（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，故0a >，从而()f x 的最大值为11(),()0.f f a a>且 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a<<<<<则 由（II ）得111211()()()0.f x f x f x a a a-=+->= 从而1221021,.2x x x x x a a+>-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分提示四提示五主题22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ． （I ）证明：CD //AB ；（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 难度 中正确答案（I ）（II ）详见提示.提示一 此题考查平面几何的线线证明和证明四点共圆.考查学生的转化划归能力和平面想象能力.清晰圆的几何性质和证明四点共圆的方法是解题的前提. 提示二 (1)通过同位角相等证明线线平行；（2）通过证明三角形△EFA ≌△EGB ，进而证明∠AFG+∠GBA=180°，达到证明四点共圆的目的. 提示三（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，所以CD//AB. …………5分（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 提示四 提示五主题23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4π-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．难度 中正确答案（I ）详见提示.（II ）2.5提示一 此题考查坐标系与参数方程，直线与椭圆相交.考查学生的转化能力和计算能力，以及分类讨论思想的应用.清晰参数方程化为普通方程的方法是解题的前提.提示二(1)利用参数方程化为普通方程的方法确定曲线的轨迹方程，然后根据α的不同取值，得到交点坐标，进而明确a 与b 的值.（2）根据普通方程和射线l 联立，得到交点坐标，明确四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，利用面积公式求解. 提示三（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3. 当2πα=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1.（II ）C 1，C 2的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和当4πα=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为2x =，与C 2交点B 1的横坐标为x '=当4πα=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2.25x x x x ''+-= …………10分提示四提示五主题24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集． 难度 中正确答案（I ）详见提示. （II ）{|56}.x x ≤≤提示一 此题考查绝对值不等式的解法.考查学生的计算能力和转化能力，以及分类讨论思想的灵活应用.去掉函数中的绝对值是解答本题的前提.提示二(1)利用零点分段法,分析函数的值域，进而证明不等式；（2）采用分类讨论的方法，通过解二次不等式，探求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．提示三（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分 提示四提示五。