当n 2时,a2 当n 3时,a3
1 1; 11 2
1
2 1 1
1; 3
当n
4时,a4
1
3 1 1
3
1. 4
2
观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒
数.由此猜想,这个数列的通项公式为an
1. n
在例1中,我们通过归纳得到 了关于数列通项公式的一个 猜想 .虽然 猜想是否正确还 有 待 严 格 的 证 明, 但 这 个 猜 想可以为我们的研究提供 一种方向.
2从运算律的角度考虑,加法和乘法都满足交换
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a2 b2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
试将平面上的圆与空间的球进行类比
B
B
P
A
AP
B
B
C
C
A
A
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的
运算性质.
分析 实数的加法和乘法都是由两个数参与运算,
都满足一定的运算律,都存在逆运算,而且"0" "1" 分
别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此我们可以
从上述4个方面来类比这两种运算.
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
得的结果仍然是一个实数.
2 由此推测有
f (2n) n 22(n N )
2
2
2.1.1合情推理（二)
类比推理
在创造发明中， 人们经常应用 类比
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠 业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这 桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具： 它也可以是齿形的.
2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇.
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
练一练：
f (n) 1 1 1 1 1 (n N ）计算得到：
234
n
f (2) 3 , f (4) 2, f (8) 5 , f (16) 3, f (32) 7 ,
归纳推理：由部分到整体、由个别到一般 的推理。
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是__2_n__1__.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中
有
个点.
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断.
即1+3+5+……+（2n-1） = n2
例1
已知数列an的第1项a1
1, 且an1
an 1 an
n 1,2, ,试归纳出这个数列的通项公式.
分析 数列的通项公式表示的是数列 an的第n
项an与序号之间的对应关系.为此, 我们先根据已知 的递推公式, 算出数列的前几项.
解 当n 1时,a1 1;
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
例题1：
1=1
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
……
由上述事实能得出怎样 的结论？
解： 猜想：前n个连续正奇数 的和等于n2 .
古时候一个地主有4个儿 子，大儿子叫大宝，二儿子 叫二宝，三儿子叫三宝，那 小儿子叫什么名字呢？
小宝
问题情境：
当看到天空乌云密布，燕子低飞， 蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个 判断：天要下雨了。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
球的性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等
与圆心距离不相等的两弦不相 等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面面积相等
与球心距离不相等的两截面面 积不相等,距球心较近的面积较 大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的 圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
在形状上和概念上，都有类似的地方，即具有完美的对称性 都是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的性质
圆的周长 C 2R
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
类比推理：由特殊到特殊的推理。
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
你是否想过“等和数列”、“等积数 列” ？
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
以点(x0,y0,z0)为球心, 径的球的方程为
r为半
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
练习
(2005年广东)如图（1）有面积关系： SPAB PA • PB SPAB PA • PB
则图（2）有体积关系： VP－ABC PA • PB • PC VP-ABC PA• PB • PC
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).