A. B. 33 C. 39 D. 15CA BC P图 8-2 图 8-1 D AA. 4cm 10cmB. 5cm 10cmC. 4cm 2 3cmD. 5cm 2 3cm a C.D.初中数学竞赛专项训练（8）（命题及三角形边角不等关系）一、选择题：1、如图 8-1，已知 AB ＝10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 的长度的最小值是 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 5( 5 - 1)2、如图 8-2，四边形 ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则 BC ＋CD等于 （）A. 6 3B. 5 3C. 4 3D. 3 33、如图 8-3，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若 EF ∥BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为 （ ）45 7 5 5 2CD A D DEF B 图 8-34、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α ＝A+B ，β ＝C+A ，γ ＝C+B ，则α 、β 、γ 中，锐角的个数最多为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 05、如图 8-4，矩形 ABCD 的长 AD ＝9cm ，宽 AB ＝3cm ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE的长和折痕 EF 的长分别为 （ ）EA DB FCBC C图 8-46、一个三角形的三边长分别为 a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为 a ，b ，b ，其中 a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则 的值等于（） bA.3 + 1 2B. 5 + 123 + 225 + 227、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y =1 x的图象相交于 A ，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B ，则△ABC 的面积为（ ）A. 1B. 2C. kD. k 2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ，另一组对边的长分别为 a ，b ，则 d 与＿＿＿＿＿＿a + b2的大小关系是＿E B3米甲B P·AA′图8-5C B′D2、如图8-5，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′＝BB′＝AB，则∠BAC的度数为＿＿＿3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿4、如图8-6，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝＿＿＿＿＿＿＿AB PDC5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中图8-6午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。
A16B20米图8-7C乙D6、如图8-8，在△ABC中，∠ABC＝60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝＿＿A图8-8C三、解答题1、如图8-9，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜12（AB+AC）AB D图8-9C2、已知一个三角形的周长为P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图8-10，在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F。
求证：①四边形CEDF是正方形。
②CD2＝2AE·BFCE FABD图8-104、从1、2、3、4……、2004中任选k个数，使所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的k的最小值是多少？1、如图过 C 作 CE ⊥AD 于 E ，过 D 作 DF ⊥PB 于 F ，过 D 作DDG ⊥CE 于 G 。
E PF B2G AE DFBC== = k ， AE = AB = ，DF = CD = + = ∵ EG 在 △Rt DOE 中，EO ＝ DE 2- DO 2= 52- ( 3 BC BD b a - ba=数学竞赛专项训练（ 8）参考答案一、选择题C1G显然 DG ＝EF ＝AB ＝5，CD ≥DG ，当 P 为 AB 中点时，有CD ＝DG ＝5，所2A以 CD 长度的最小值是 5。
2、如图延长 AB 、DC 相交于 E ，在 △Rt ADE 中，可求得 AE ＝16，BE ＝AE －AB ＝9，在 △Rt BEC 中，可求得 BC ＝3 3 ，CE ＝ A D60°DE ＝8 3 ，于是CB E 6 3，于是 CD＝DE －CE ＝2 3BC ＋CD ＝5 3 。
3、由已知 AD+AE+EF+FD ＝EF+EB+BC+CF1A D ∴AD+AE+FD ＝EB+BC+CF ＝ ( AD + AB + BC + CD ) = 11E F∵EF ∥BC ，∴EF ∥AD ，H EB FC 设AE DF k 6k k 4kEB FC k + 1 k + 1 k + 1 k + 16k 4k 13k + 3 13k + 3AD+AE+FD ＝3+ ∴k + 1 k + 1 k + 1 k + 1= 11 解得 k ＝4作 AH ∥CD ，AH 交 BC 于 H ，交 EF 于 G ，则 GF ＝HC ＝AD ＝3，BH ＝BC －CH ＝9-3＝6AE 4 4 24 24 39 = = ，∴ EG = BH = ∴ EF = EG + GF = + 3 =BH AB 5 5 5 5 54、假设α 、β 、γ 三个角都是锐角，即α ＜90°，β ＜90°，γ ＜90°，也就是 A+B ＜90°，B+C ＜90°，C+A ＜90°。
∵2（A+B+C ）＜270°，A ＋B ＋C ＜135°与 A ＋B ＋C ＝180°矛盾。
故α 、β 、γ 不可 能都是锐角，假设α 、β 、γ 中有两个锐角，不妨设α 、β 是锐角，那么有 A ＋B ＜90°，C ＋A ＜90°， ∴A ＋(A ＋B ＋C)<180°，即 A+180°＜180°，A ＜0°这也不可能，所以α 、β 、γ 中至多只有一个 锐角，如 A ＝20°，B ＝30°，C ＝130°，α ＝50°，选 A 。
5、折叠后，DE ＝BE ，设 DE ＝x ，则 AE ＝9－x ，在 △RtABC 中，AB 2＋AE 2＝BE 2，即 32 + (9 - x ) 2 = x 2 ，解得 x ＝5，连结 BD 交 EF 于 O ，则 EO ＝FO ，BO ＝DO∵ BD = 9 2 + 32 = 3 10∴DO ＝ 3 2101010) 2 =2 2∴EF ＝ 10 。
选 B 。
△6、设 ABC 中，AB ＝AC ＝a ，BC ＝b ，如图 D 是 AB 上一点，有 AD ＝b ，因 a>b ，故∠A 是△ABC 的最小角，设∠A ＝Q ，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为 Q ， A从而它与△ABC 全等，所以 DC ＝b ，∠ACD ＝Q ，因有公共底角∠B ，所以有等腰△QADC ∽等腰△CBD ，从而得 ，即 = ，令 x = ，即AB BC a bbN 另一组对边是 AD 和 BC ，其长度分别为 a 、b ，连结 BD ，设 P 是 BD 的22 d≤MNd ≤ (或 ≥ d ) 。
C长，因此共有 7 个数组构成三角形三边长。
A D P b。
得方程 x 2 - x - 1 = 0 ，解得 x = a 5 + 1 = b 2。
选 B 。
7、C 。
由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360°，故外角中钝角的个数不能超过 3 个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。
8、A 。
设点 A 的坐标为（ x ，y ），则 xy = 1 ，故△ABO 的面积为 底等高，因此△ABC 的面积＝△2× ABO 的面积＝1。
二、填空题1 1 xy =△ ，又因为 ABO 与△CBO 同2 21、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为DM 、 ，MN ＝d ，AabPa +b 中点，连结 MP 、PN ，则 MP ＝，NP ＝，显然恒有，当2AD ∥BC ，由平行线等分线段定理知 M 、N 、P 三点共线， B此时有a + ba + bd =，所以 d 与的大小关系是2 2 a + b a + b2 22、12°。
设∠BAC 的度数为 x ，∵AB ＝BB ′ ∴∠B ′BD ＝2x ，∠CBD ＝4x∵AB ＝AA ′ ∴∠AA ′B ＝∠AB A ′＝∠CBD ＝4x ∵∠A ′AB ＝ 1 2(180︒ - x )∴ 1 2(180︒ - x ) + 4 x + 4 x = 180︒ ，于是可解出 x ＝12°。
3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。
由 3+5 ＜9，3+5＜11，3+7＜11 可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三组不能构成三角形的边E 4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA 、BC 于 E 、F ，过 P 作 BCAB 、CD 于 G 、H 。
G a aH设 AG ＝DH ＝a ，BG ＝CH ＝b ，AE ＝BF ＝c ，DE ＝CF ＝d ， b的平行线分别交则 AP 2 = a 2 + c 2，CP 2 = b 2 + d 2，BP 2 = b 2 + c 2， DP 2＝d 2 + a 2B c F d C于是 AP 2 + CP 2 = BP 2 + DP 2 ，故 DP 2 = AP 2 + CP 2 - BP 2 = 32 + 5 2 - 4 2 = 18 ，DP ＝3 25、①设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长度就是甲楼的影 子在乙楼上的高度，设 CE ⊥AB 于点 E ，那么在△AEC 中，∠AEC ＝90°，∠ACE ＝30°，EC ＝20 米。