2020-2021学年江西省上饶市横峰中学、弋阳一中、铅山一中高二（统招班）上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，则AB =（ ）A ．{}3,2,1---B ．1,0,1,2C ．{}1,2D ．{}2,1,0,1--【答案】B【分析】求出集合A ，利用交集定义能求出A B .【详解】{}{}223013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}3,2,1,0,1,2B =---，因此，{}1,0,1,2A B ⋂=-. 故选：B.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．已知向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()-⊥a b b ，则a ，b 的夹角是（ ）. A ．π3B ．π6C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】先利用向量垂直的性质得到22||a b b b ⋅==，再计算cos θ的值，从而求得a 与b 的夹角θ的值．【详解】非零向量,a b 满足2=a ，1=b ， 且()a b b -⊥，则()0-⋅=a b b ，即22|1|a b b b ⋅===，所以2||11cos 212||||||||a b b a b a b θ⋅====⨯⨯⨯， 又[0θ∈，]π， 所以a 与b 的夹角为3πθ=．故选：A ．【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有垂直关系的向量表示，向量夹角大小的计算问题，属于基础题目．3．某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：现根据表中所提供的数据,求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ21yx =-,则a 值等于( ) A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．6【答案】B【分析】由已知表格中的数据求得x 与y 的值,代入线性回归方程求解a 值. 【详解】由所给数据可求得∴ 23433x ++==, 103ay +=, 代入线性回归方程为ˆ21yx =-, 得102313a+=⨯-, 解得5a = 故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.4．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23A π=，2b =，且ABCa 的值为（ ）A ．12B ．8C ．D ．【答案】D【分析】根据已知条件，利用三角形面积公式求得c 的值，然后利用余弦定理求得a 的值.【详解】由题可得，1sin 2b c A ⨯⨯⨯=221c ⨯=⨯，∴2c =，又2222cos a b c bc A =+-=1448122⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，∴a = 故选：D ．【点睛】本题考查三角形的面积公式和余弦定理的综合运用,属基础题.5．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（ ）A ．2-B ．34C ．43-D ．2【答案】A【分析】根据弦化切，将原式化为关于正切的方程，求解，即可得出结果. 【详解】因为sin cos 1sin cos 3αααα+=-，所以tan 11tan 13αα+=-，即3tan 3tan 1αα+=-， 解得tan 2α.故选：A.【点睛】本题主要考查由弦化切求三角函数值，属于基础题型.6．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01【答案】D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.【解析】此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.7．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．4B ．13C ．40D ．41【答案】C【分析】模拟程序运行的过程，分析循环体各变量的变化情况，可得答案 【详解】模拟程序运行，可得：1,0A B == 满足条件4,A ≤执行循环体，1,2B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，4,3B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，13,4B A ==； 满足条件4,A ≤执行循环体，40,5B A ==； 此时不满足条件4A ≤,退出循环，输出B 的值为40 故选：C8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310πB ．320π C ．3110π-D ．3120π-【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：815381517r ⨯==⇒++落在内切圆内的概率为2331208152r ππ⨯==⨯⨯，故落在圆外的概率为3120π-9．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P 的坐标，则点P 落在圆2215x y +=内的概率为A ．19B ．29C ．59D ．79【答案】B【分析】由抛掷两枚骰子得到点P 的坐标共有36种，再利用列举法求得点P 落在圆2215x y +=内所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意知，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P 的坐标，共有6636⨯=种结果，而满足条件的事件是点P 落在圆2215x y +=内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式，可得82369P ==，故选B ．【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，令古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．654【答案】A【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=.因为11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =，所以116m n+的最小值为5. 故选：A.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 11．在直角梯形ABCD 中， AB AD ⊥， //AD BC ， 22AB BC AD ===， ,E F 分别为BC ， CD 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若AP AE BF λμ=+，其中λ， R μ∈，则6λμ+的取值范围是（ ）A ．2]B ．[1,2]C ．2,2]D ．[2,22]【答案】D【分析】建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5），P （cos α，sin α）（0≤α2π≤），由AP =λAE +μBF 得，（cos α，sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，32），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【详解】解：建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （2，2），E （2，1），F （1，1.5）， P （cos α，sin α）（0≤α2π≤），由AP =λAE +μBF 得，（cos α，sin α）＝λ（2，1）+μ（﹣1，32） ⇒cos α＝2λ﹣μ，sin α＝λ32μ+⇒λ3184cos sin αα=+，1124sin cos μαα=-∴6λ+μ＝6（3184cos sin αα+）1124sin cos αα+-=2（sin α+cos α）＝2sin （4πα+）∵3444πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin （4πα+）21⎤∈⎥⎣⎦∴2sin （4πα+）∈[2，2]，即6λ+μ的取值范围是[2，2]．故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．属于中档题．二、多选题12．已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β B ．若m // α，n // β，且m // n ，则α // β C ．若m ⊥α，n // β，且m ⊥n ，则α⊥β D ．若m ⊥α，n // β，且m // n ，则α⊥β 【答案】AD【分析】根据直线与平面平行，垂直的性质定理，判断定理，灵活判断，可以正确推导，也可以举反例说明．【详解】解：对于A ：若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥可以判断αβ⊥是正确的，因为可以设两个平面的法向量为1n ，2n ，可得数量积为零，即12n n ⊥，所以可判断αβ⊥是正确的，故A 正确，对于B ：若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ．不正确，如两个面相交，两个相交的墙面，直线m ，n 都平行于交线，也满足，//m α，//n β，所以B 不正确； 对于C ：若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则有可能//αβ，不一定αβ⊥，所以C 不正确； 对于D ：若m α⊥，//n β，且//m n ，n α∴⊥，//n β，αβ∴⊥，故D 正确；故选：AD ．【点睛】本题考察了直线与平面的位置关系，熟练掌握好平行，垂直的定理即可判断，属于中档题．三、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，则2a b -=________. 【答案】2【分析】先根据已知条件计算数量积a b ⋅，再由()2222a ba b -=-计算，即得结果.【详解】因为向量a ，b 的夹角为60°，||1,||2a b ==，所以12cos601a b ⋅=⨯⨯︒=， 故()()2222222441444a ba ba ab b -=-=-⋅+=⨯-+=，22a b ∴-=.故答案为：2.【点睛】本题考查了数量积的定义和向量模长的计算，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．【答案】1【分析】先根据约束条件画出可行域，再根据可行域求目标函数的最大值即可.【详解】解：由约束条件12020x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，画出可行域，如图，有题意12x y x =⎧⎨=-+⎩，解得点(1,1)B ，根据图象可得，当目标函数过点(1,1)B 时，2z x y =-取得最大值211=1z =⨯-， 故答案为：1.【点睛】本题考查简单的线性规划、求线性目标函数的最值，是基础题.15．函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为______________.【答案】[]1,1-【分析】利用两角和与差的三角函数，化简已知表达式，再利用余弦函数的值域求出它的值域即可.【详解】解：函数()1sin cos sin cos sin cos 6226f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵[]cos 1,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ∴函数的值域为：[]1,1-. 故答案为：[]1,1-.【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，余弦函数的值域，属于基本知识的考查. 16．已知等比数列{}n a 满足()143nn n a a n N*++=⋅∈，的前n 项和为nS，若不等式n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______.【答案】(],1-∞【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的定义求出q 的值，结合等式143n n n a a ++=⋅可求得数列n a ，并计算出n S ，由n n S ka ≥可得131223n k -≤-⋅，求出数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()1143nn n n a a q a ++=+=⋅，可得()1211143n n n n a a q a +++++=+=⋅，上述两式相除得()()111433143n n nn q a q q a +++⋅===+⋅，则1443n n n n a a a ++==⋅，得3n n a =， 所以，等比数列{}n a 的公比为3，首项也为3，则()111333132n n na S +--==-，由于n n S ka ≥，则11333123223n n n n n S k a +--≤==-⋅，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增， 当1n =时，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为111S a =，1k ∴≤. 因此，实数k 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，涉及等比数列通项公式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.四、解答题17．当0a ≤时，解关于x 的不等式()21330ax a x +--≤.【答案】答案见解析.【分析】将所求不等式变形为()()130ax x +-≤，对实数a 的取值进行分类讨论，结合二次不等式的求解方法可得出原不等式的解集.【详解】由()21330ax a x +--≤，可得()()130ax x +-≤.①当0a =时，原不等式即30x -≤，解得3x ≤； ②当0a <时，()()130ax x +-≤. 方程()()130ax x +-=的两根为110x a=->，23x =. 当13a =-时，原不等式即()21303x --≤，即()230x -≥，解得x ∈R ； 当103-<<a 时，13a ->，解原不等式得1x a ≥-或3x ≤；当13a <-时，13a -<，解原不等式得3x ≥或1x a≤-.综上，当0a =时，原不等式的解集为{}3x x ≤； 当13a =-时，原不等式的解集为R ； 当103-<<a 时，原不等式的解集为{3x x ≤或1x a ⎫≥-⎬⎭；当13a <-时，原不等式的解集为1x x a⎧≤-⎨⎩或}3x ≥. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 18．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足关系式=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3a b +=，2c =，求ABC 的面积.【答案】（Ⅰ）23π；.【分析】（Ⅰ）由正弦定理边化角可得sin sin )cos sin A B A B C C+=，化简整理可得：sin C C = （Ⅱ）根据余弦定理得22242cos3a b ab π=+-，化简求值可得5ab =，代入面积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得sin sin )cos sin A B A B C C+=，化简得sin (sin )A C C A =，∵sin 0A ≠，∴sin C C =则ππ2πsin 32333C C π⎛⎫-=-<-< ⎪⎝⎭， 得π33C π-=，∴23C π=. （Ⅱ）由余弦定理得22242cos3a b ab π=+-，化简得24()9a b ab ab =+-=-，故5ab =，1sin 2S ab C ==，∴ABC 的面积为4. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了面积公式，解此类问题的关键是角化边或者边化角，同时考查了计算能力，属于中档题.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；【答案】（1）2n n a =；（2）()16232n n T n +=+-⨯.【分析】（1）由题意可得22n n S a =-，由1n =时，11a S =，2n 时，1n n n a S S -=-，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得(21)(21)2n n n b n a n =-=-，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和；【详解】解：（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-. 当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =；当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-，上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12n n a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯；【点睛】本题考查数列通项公式的计算以及错位相减法求和，属于中档题.20．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.（1）求出直方图中m 的值；（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【答案】（1）0.030m =（2）平均数为71，中位数为73.33（3）35【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形面积和为1，即可求得m 的值； （2）由平均数与中位数的求法，结合频率分布直方图即可得解.（3）由分层抽样性质可分别求得抽取的5个口罩中一等品、二等品的数量，利用列举法列举出抽取2个口罩的所有情况，即可求得2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ⨯+++++=，得0.030m =.（2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-⨯=，得22073.333n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.（3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.记这3个一等品为a ，b ，c ，2个二等品为d ，e ，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：(),a d ，(),a e ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e .共6种.故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及由频率分布直方图求平均数与中位数的方法，列举法求古典概型概率，属于基础题.21．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SB SD =．（1）证明：BD SA ⊥；（2）若面SBD ⊥面ABCD ，SB SD ⊥，60BAD ︒∠=，1AB =，求B 到平面SAD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）21 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接SO ，推导出BD SO ⊥，BD ⊥面SAC ，由此能证明BD SA ⊥．（2）推导出SO 是三棱锥S ABD -的高，设B 到平面SAD 的距离为h ，根据B SAD S ABD V V --=，即可求出结果．【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接SO ，在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，O 是BD 的中点，又因为SB SD =，所以BD SO ⊥，又ACSO O =， 所以BD ⊥面SAC ，又SA ⊂面SAC ，所以BD SA ⊥．（2）因为面SBD ⊥面ABCD ，面面SBD 面ABCD BD =，BD SO ⊥，SO ⊂面SBD ，所以SO ⊥面ABCD ，即SO 是三棱锥S ABD -的高．依题意可得，ABD ∆是等边三角形，所以1BD AD ==，3AO =，在等腰Rt SBD ∆，1122SO BD ==，1111322S ABD V -⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭，经计算得SD =1SA =， 等腰三角形ASD的面积为12ASD S ∆=， 设点B 到平面SAD 的距离为h ，则由B SAD S ABD V V --=，得13ASD S h ∆⨯⨯，解得h =， 所以B 到平面SAD的距离为7． 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面的距离，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，以及等体积法求点到面的距离即可，属于常考题型.22．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x （万元）和年销售量y （单位：t ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.（1）根据表中数据建立年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为20.05 1.85z y x =--，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆn n i i nn i i x y nx y x x y y b x nxx x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 参考数据：11188.5S i x y ==∑，21190S i x ==∑.【答案】（1）ˆ0.850.6y x =+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）①先求得年利润z 关于x 的表达式，然后将10x =分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w 的表达式，利用基本不等式求得5x =时，年利润与年宣传费的比值最大.【详解】（1）由题意2453645x ++++==， 2.5 4.543645y ++++==， 21222188.554ˆ0.859054n i ii n i i x y nx y b xnx ==--⨯∴===-⨯-∑∑， ˆˆ40.8540.6ay bx =-=-⨯=， 0.80.ˆ56yx ∴=+. （2）①由（1）得220.05 1.850.050.85 1.25z y x x x =+--=--，当10x =时，0.85100.ˆ69.1y∴=⨯+=，20.05100.8510 1.25 2.25z =-⨯⨯-=+. 即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w ，则()1.250.050.850w x x x=--+>，1.25 1.250.050.850.050.85w x x x x ⎛⎫=--+=-++≤- ⎪⎝⎭0.850.35=. 当且仅当 1.250.05x x=即5x =时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.。