北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题
一、判断题:
1. 设()X t 和()Y t 是相互独立的平稳随机过程,则它们的乘积也是平稳的。
2.()X t 为一个随机过程,对于任意一个固定的时刻i t ,()i X t 是一个确定值。
3.设X 和Y 是两个随机变量,X 和Y 不相关且不独立,有()()()D X Y D X D Y +=+。
4.一般来说,平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。
5.设()X t 是不含周期分量的零均值平稳随机过程,其自相关函数为()X R τ,从物 理概念上理解,有lim ()0X R ττ→∞
=。
6. 对于线性系统,假设输入为非平稳随机过程,则不能用频谱法来分析系统输出随机过程的统计特性。
7. 若随机过程X (t )满足
,
与t 无关,则X (t )是广义平稳(宽平稳)过程。
8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。
9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。
10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。
二.选择填空
1.对于联合平稳随机过程()X t 和()Y t 的互相关函数()XY R τ,以下关系正确的是 (1)。
(1)A .()()XY XY R R ττ-= B.()-()XY YX R R ττ-=
C.)()(ττYX XY R R =-
D.)()(ττXY XY R R -=-
2.随机过程X(t)的自相关函数满足1212(,)()()0X X X R t t m t m t =≠,则可以断定1()X t 和2()X t 之间的关系是(2)。
(2)A.相互独立B.相关C.不相关D.正交
3.两个不相关的高斯随机过程)(t X 和)(t Y ,均值分别为X m 和Y m ,方差分别为2X σ和2Y σ,则)
(t X 和)(t Y 的联合概率密度为(3)。
(3)A
.22
22
()()(,)22X Y X Y x m y m f x y σσ⎧⎫⎡⎤--⎪⎪=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
B.22
22
()()1
(,)exp 222X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ⎧⎫⎡⎤--⎪⎪
=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
C.2222
()()(,)2()X Y X Y x m y m f x y σσ⎧⎫
-+-=-⎨⎬+⎩⎭
D.2222
()()1
(,)exp 22()X Y X Y X Y x m y m f x y πσσσσ⎧⎫
-+-=-⎨⎬+⎩⎭
4.设()sin()()c X t A t n t ω=+,其中()()cos()()sin()c c s c n t n t t n t t ωω=-是零均值平稳窄带高斯噪声,A 是不等于0的常数,则()X t 的包络服从(4),()X t 的复包络服从(5)。
(4)A.莱斯分布B.瑞利分布C.高斯分布D.均匀分布 (5)A.莱斯分布B.瑞利分布C.高斯分布D.均匀分布
5.设()N t 是平稳随机过程,其功率谱密度为()N G ω,定义()0()()sin X t N t t ωθ=+,θ在0到2π之间均匀分布,则()X t 的平均功率谱密度为(6)。
(6)A.001[()()]4
N N G G ωωωω++- B.001[()()]2
N N G G ωωωω++-
C.001
[()()]4N N G G ωωωω+-- D.001[()()]4
N N G G ωωωω--+
6.已知2110ωω=,信号12()cos cos m t t t ωω=的Hilbert 变换为(7),复包络为(8)。
(7)A.12sin sin t t ωω B.12cos sin t t ωω C.12sin cos t t ωω D.12sin cos t t ωω- (8)A.1sin t ω B.1cos t ω C.2sin t ω D.2cos t ω
7.设频带信号()X t 为一实数平稳过程,ˆ()()()Z t X t jX t =+,则()Z t 的平均功率是()X t 平均功率的
(9)倍,()X t 的平均功率是ˆ(t)X
平均功率的(10)倍。
(9)A.1B.2C.1/2D.1/4 (10)A.1B.2C.1/2D.1/4
8.设有理想限幅器,()0
(),()0a X t Y t a X t ≥⎧=⎨-<⎩,其中0a >为常数。
假定输入()X t 为零均值正态随机过
程,则输出()Y t 的均值为(11),方差为(12)。
(11)A.a B./2a C.0D.a - (12)A.a B./2a C.2a D.22a
9.双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声的自相关函数为(13)。
(13)A.()δτ B.02N C.
()0
2
N δτ D.+∞。
10.白噪声通过某线性系统后的物理谱(即单边功率谱)密度如图1所示,则该系统的等效通能带(即等效矩形带宽)为(14)Hz 。
(14)A.
02wN π B.0wN π C.2w πD.w
π
图1
11.已知三状态(编号0、1、2)马尔可夫链一步转移概率矩阵为0.10.70.20.40.30.30.30.50.2⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,则P{X 2=0|X 0=1}=(15)。
(15)A.0.35B.0.25C.0.23D.0.52
三、(8分)随机过程0()=cos()X t A t ω+Φ,其中0ω为常数,A 和Φ是统计独立的随机变量,A 以等概率分别取值{}3,1,1,3--++,Φ在[0,2]π之间均匀分布。
(1) 判断()X t 是否是广义平稳的;
(2) 求()X t 的平均功率;
(3) 求()X t 的功率谱密度。
四、(8分)考虑如图2所示的具有一个输入、两个输出的线性系统。
图2
(1)证明:1()Y t 和2()Y t 的互功率谱密度为()()()()12
*
12YY X G H H G ωωωω=,其中()X G ω为输入信号()X t 的功率谱密度;
(2)若输入信号()X t 为均值为0,双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声,请问 何种()1H ω和()2H ω可保证1()Y t 和2()Y t 统计独立。
五、(10分)假设某通信系统在0时刻发送波形()1102
0s t T s t else ≤≤⎧=⎨⎩,发送的信号首先经过一
个传递函数为()C f 的滤波器后叠加了白高斯噪声,再通过一个匹配滤波器后进行取样判决,如图3(a )所示,其中()n t 是均值为0,双边功率谱密度为02N 的白高斯噪声。
发送滤波器的结构如图3(b)所示。
(a) (b) 图3
(1)请画出发送()1s t 时发送滤波器输出的波形()1g t ; (2)请写出匹配滤波器的冲激响应()h t ,并画出图形;
(3)求发送()1s t 条件下,匹配滤波器输出端最佳采样时刻的均值、方差及信噪比。
六、(16分)考虑如图4(a)所示的系统,已知输入信号()N t 为均值为0,双边功率谱密度为02N 的高斯白噪声,带通滤波器1()H ω和低通滤波器2()H ω的频率响应分别如图4(b)中所示。
(a) (b)
图4
(1) 令()()()cos ()c X t A t t t ωφ=+,写出()A t 的一维概率密度函数,求其均值和方差;
(2) 若检波器为平方律检波器,其传输特性为2()[()]Y t X t =,求系统输出信号()Z t 的均值、方差及其一维概率密度函数;
(3) 若检波器为同步检波器,即传输特性为()()()cos c Y t X t t ω=,求输出信号()Z t 的均值、方差及其一维概率密度函数。
七、(8分)设有一质点在线段上随机游动,线段的两端设有反射壁。
假定质点只能停留在a 1=-L ,a 2=0,a 3=L 三个点上,每经过一单位时间按以下规则改变一次位置:如果游动前质点在a 2位置上,则下一时刻向左、向右移动一个单位L 的概率均为1/4,停留在原地的概率为1/2;若游动前质点在a 1位置,则下一时刻或以概率1/2向a 2移动,或以概率1/2停留在原地;若游动前质点在a 3位置,则下一时刻或以概率1/2向a 2移动,或以概率1/2停留在原地。
(1)试画出状态转移图; (2)写出一步转移概率矩阵;
(3)求在平稳情况下,各点的状态概率。