s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
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第四章 根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
闭s环s22 +特K2rs=征0+↑KKr 方1r=程s110 式 特征-2 方程-1的根0 σ
(1R)左(从s) 半根- 平轨s面(迹sK+r为2可) 稳C知(s定): 极点；右半平面为 不稳Kr定极s1点；虚s2轴 上为0临界0极点。-2
(2)有01<2呈Kr过<-11-阻1+时j 尼，状-系1-1-态j统。
根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。
根轨迹基本特征为以下八条：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系
p2
p1
-2
0σ
环传递函数的极点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2. 终点
根轨迹方程：
m
i
n=1((ss--pzji))=
-
1 Kr
m
j =1
Kr
i n=1((ss--pzji))=0
j =1
m
则 i =1(s-zi) =0 即 s=zi
8 8
m条根轨迹终止于开环传递函数的零点
另： s
n-m条根轨迹终 止于无穷远
m
i n=j =1
第二节 绘制根轨迹的基本方法
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
当系统的某个参数变化时，特征方程的根
随之在 S平面上移动，系统的性能也跟着变化。 研究S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与
系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。
一、根轨迹 二、根轨迹方程
第一节 根轨迹的基本概念
↑
一、根轨迹
K设r变系化统时的,闭结环构特如征图 根在RC((sss平))=面s∞2+上2K的s+jrωK轨r 迹:
s6
n个根形
成根n条轨根迹轨必迹定。对称于实轴。
第二节 绘制根轨迹的基本方法
二、根轨迹的起点和终点
1K则.r=起0 j点n=1(s-pjijmn==)11=((s根0s--pz轨ji)) =迹∞方程例：：jiGmn==11(((sss-)-p=zji))s=(jωs-K+K1r2r )
即 s=pj 根轨迹起始于开
jω
2
-∑
(s–pj)=±(2k+1)π
j =1
设实轴上任意点s1
p2 θ2 s1 p1
-2
θ1 0 σ
s1与开环零、极点之间的矢量：
s1的相角方程为：
2
-∑ j =1
(s1–pj)=θ- 1θ- 2=-180º
s1为根轨迹上的点。 p1~p2 为根轨迹段。
第一节 根轨迹的基本概念
设复平面开环极点中线上任意点s2
s2与开环零、极点之间的矢量：
s2
s2的相角方程为：
2
-∑ j =1
(s2–pj)=θ- 1θ- 2
p2 θ2 -2 θ2
jω
θ1
p1
0σ
θ1
=θ- 1 -(180o-θ1 )=-180º
s3
中线上的点都是根轨迹上的点。 设任意点s3
s3的相角方程为：
2
-∑ j =1
(s3–pj) =θ- 1θ- 2 >-180º
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第四章 根轨迹分析法
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的基本方法 第三节 广义根轨迹 第四节 用根轨迹法分析系统性能 第五节 MATLAB用于根轨迹分析
*图根显轨然迹是的难定以实义现: 的，必须找到一种方便、
有效的系作统图的方一法个。或作多图个方参法数的由依零据变就到是无根 轨穷迹大方时程，。闭环特征方程的根在S平面上
移动的轨迹。
第一节 根轨迹的基本概念
二、根轨迹方程
设当根系s 轨满统迹足的方相结角程构方为程如时图， 必得系然该统RC能(Ks(闭ss满r找))nim=环=足(到11s(-s+传幅一p-Gzj)值G递i个)(=s(方K)-s函1H)r程值数(s。，)为使
-1
s1.2 =-1±Kr ∞
↑
1-Kr
(3) 当∞Kr=-11+时j∞，-系1-j∞统 呈临界阻尼状态 。
得相(4应) 1的<K闭r<环∞时特，征系根统值呈: 欠阻尼状态。
第一节 根轨迹的基本概念
**根根轨轨闭迹迹环法法特的的征基方分本程析的思手根路段的::位置与系统的
性能利是用密根切轨相迹关法的来，分当析系和统设的计某系个统参，数首 先发必生须变绘化制时出，系特统征的方根程轨的迹根图在，平而面采上用的求 解位方置程以根及的系方统法的来性绘能制将高随阶之系而统变的. 根轨迹
j =1
构根闭 分 相数闭所成的开环解角根等环满一有了轨环相特为方轨于特足般满闭 迹传角征幅程迹征开-足表环 。1递方方值。方相特方环达的函程角征程方程程传式s数方方式 程又即式递为程的程为 和可为的函的式s
R(s)幅-值m 方G(s程) C(s) 根轨开迹环K增jr传n=i1益=(H递1s(-(sp函)-mj)zi数) =零1 点 G(或s开)H环(sj传)n==i1m=(递1sK(-j nsr=p函i1-(j=)zs1数i(-)sp=-j极z)iK)1点r
∑i根m=1 。1(+sG-z即(i s))H∑j =n1(s)(=s0-pj)=±(2即k+1)πG(s)HK(=s()0=,1-,12…)
第一节 根轨迹的基本概念
例 已知系统的开环传递函数，根据相角方程确
定系统的根轨迹图。
解：开环零、极点分布为：
G(s)=
Kr s(s+2)
该系统的相角方程为：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性
1．根轨迹对称于实轴
jω
2. 闭n阶环系特统征有方n程条实根数轨根迹 分K布r取在某S一平数面值的时实,n阶轴特上征。方
程有复n数个确根定则的成根对。出现，实
s3 s1
s5
0 s2σ
部号续K相相r地=0等反向→其，。∞终虚每点部一移大个动小根，相形由等成始一符点条连根轨迹s，4