导数——泰勒不等式专题
一、泰勒公式：
泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。

如果一个函数足够平滑，即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数，且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数，则对],[b a 上任意一点x ，有
).()(!
)()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.
我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式：
)(!)
0(!2)
0(
!1)0(!0)0()(2
2x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式：
++++=32!31
!21
!11
1x x x e x ①
+-+-=+4324
1
3121
)1ln(x x x x x ②
+-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③
-+-=4
2!41!211cos x x x ④
++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式：
x e x +≥1①；
1ln -≤x x ②；
212
x x e x ++≥③对0≥x 恒成立；
x x x x
≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立；
x x x x ≤≤-sin 63
⑤对0≥x 恒成立；
2421cos 214
22x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立
（1）若2
1=a ，求)(x f 的单调区间；（2）若当0≥x 时0)(≥x f ，求实数a 的取值范围.例2.（新课标全国理科21）设函数f (x )=e x -1-x -ax 2
.
（1）若a =0，求f (x )的单调区间；（2）当x ≥0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围.例1.（新课标全国文科21）设函数f (x )=x (e x -1)-ax 2.
例3.（前两问同例2）设函数.
1)(2
ax x e x f x ---=（1）若0=a ，求)(x f 的单调区间；
（2）当0≥x 时，0)(≥x f ，求实数a 的取值范围；
（3）若0>x ，证明：2)1ln()1(x x e x >+-.例4.（全国1卷理）设函数f (x )=e x -e
-x ．
（Ⅰ）证明：f (x )的导数f '(x )≥2；（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围．
例5.（2019北京四中期中考试）已知函数.
,31)(23R a ax x e
x f x ∈---=（1）当0=a 时，证明：当0≥x 时，0)(≥x f ；（2）当0≥x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.
例6.（全国2卷理科22）设函数f (x )=1-e
-x .（1）证明：当x >-1时，f (x )≥
1+x x
;（2）若当x ≥0时，f (x )≤ax x +1，求实数a 的取值范围.
ln 1a x b x x
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1
x f x x >-．]2
π，其中a 为常数.（1）若函数)(x f 在2,0[π上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当1≤a 时，证明：361)(x x f ≤.例8.（2020届鄂东南联考）已知函数f (x )=ax -sin x ,x ∈[0,
例7.（新课标）已知函数f (x )=
A.21x e x x ++
2
11124
x x <-+C.21cos 12x x - D.2
1ln(1)8x x x
+- 312cos 2x x x ++.当[]0,1x ∈时，例9.（辽宁理12）若x ∈[0,+∞)，则下列不等式恒成立的是（
）例10.（辽宁理21）已知函数f (x )=(1+x )e -2x ,g (x )=ax +（1）求证：1-x ≤f (x )≤1+1
x ；
（2）若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.。