第四章均布荷载下架空线的计算在架空输电线路的设计中，不同气象条件下架空线的弧垂、应力和线长占有十分重要的位置，是输电线路力学研究的主要内容。

这是因为架空线的弧垂和应力直接影响着线路的正常安全运行，而架空线线长的微小变化和误差都会引起弧垂和应力相当大的改变。

设计弧垂小，架空线的拉应力就大，振动现象加剧，安全系数减小，同时杆塔荷载增大因而要求强度提高。

设计弧垂过大，满足对地安全距离所需杆塔高度增加，线路投资增大，而且架空线的风摆、舞动和跳跃会造成线路停电事故，若加大塔头尺寸，必然会使投资再度提高。

因此, 设计合适的弧垂是十分重要的。

本章研究垂直均布荷载和水平均布荷载作用下的架空线有关计算问题。

第一节架空线悬链线方程的积分普遍形式图4-1架空线悬挂曲线受力图（a）分离体受力图；（b）整档架空线受力图；图4-1（b）所示为某档架空线，A、B均为两悬挂点。

沿架空线线长作用有均布比载，方向垂直向下。

在比载作用下，架空线呈曲线形状，其最低位置在：点，在悬挂点A、B 处，架空线的轴向应力分别为c A和二B。

选取线路方向（垂直于比载）为坐标系的x轴, 平行于比载方向为y轴。

在架空线上任选一点C,取长为L OC的一段架空线作为研究对象，受力分析如图4-1（a）所示。

列研究对象的力平衡方程式，有7 X =0,二x cos—（4- 1）' 丫 =O,；「X sin v - L OC(4- 2)式(4-1)表明，架空线上任一点C 处的轴向应力匚x 的水平分量等于弧垂最低点处的轴向应力CO ，即架空线上轴向应力的水平分量处处相等，式(4-2)表明，架空线上任一点轴向应力的垂向分量等于该点到弧垂最低点间线长L oc 与比载之积。

以上两式相除可得Vtg 二=——L oc▽0上式为悬链线方程的徽分形式。

从中可以看出，当比值 /匚0 —定时，架空线上任一点处的斜率与该点至弧垂最低点之间的线长成正比。

在弧垂最低点 O 处，曲线的斜率为零，即二=0,将式(4- 3)写成r Vy L OC^0两边微份式(4- 5)是架空线悬链线方程的积分普遍形式。

其中C 1、C 2为积分常数，其值取决于坐dy =2.dx - oL oc(4- 3)dy d(L °c )二 \ dx 2 dy 2二Cy 2dxcr n <r n-0 - 0CT 0分离变量后两端积分dy二dx-0AA + y ,2arcsh( y )= Y(x C 1)-0或写成dy=sh(x C 1)dx- 0(4- 4)上式两端积分，得y=叫 0(xC 1) C 2(4- 5)标系的原点位置。

第二节等高悬点架空线的弧垂、线长和应力一、等高悬点架空线的悬链线方程等高悬点是指架空线的两个悬挂点高度相同。

由于对称性，等高悬点架空线的弧垂最低点位于档距中央，将坐标原为取在该点，如图4-2所示。

图4-2等高悬点架空线的悬链线当x=0时，dy=0,代入式(4- 4)可解得C i = 0;当x=0时，y=0,代入式(4- 5)并利用G = dx0,解得C i = -一°，将C1、C2的值代回式(4- 5)，并加以整理即可得到架空线的悬链线方程%y= - (ch x-1) (4-6) 由式(4- 6)可以看出，架空线的悬链线具体形状完全由比值二0/决定，即无论是何种架空线，何种气象条件，只要匚0/相同，架空线的悬挂曲线形状就相同。

在比载一定的情况下，架空线的水平应力二-是决定悬链线形状的唯一因素，所以架线时的水平张力对架空线的空间形状有着决定性的影响。

在导出式(4- 6)的过程中，并没有用到等高悬点的限定条件，因此式(4- 6)同样可用于不等高悬点的情况。

二、等高悬点架空线的弧垂架空线上任一点的弧垂是指该点距两悬挂点连线的垂向距离。

在架空输电线路设计中,(ch」--1)所以利用恒等式c^ -ch : =2sh ■ sh ' 对上式进行变换，可以得到2 22% 2%除非特别说明，架空线的弧垂一般指的是最大弧垂。

最大弧垂在线路的设计、有十分重要的位置。

三、等高悬点架空线的线长弧垂最低点0与任一点C之间的架空线长度L OC（参见图4-1）可由式（4-3）联立求解，并考虑到C^0而得到。

线长L OC计算式为或记为将X =1/2代入上式，可得到半档距架空线的长度L xm/2，整档架空线的线长的2倍，即L = 2L X ±/2 sh rl26 (4- 10)需计算架空线任一点x处的弧垂f x，以验算架空线对地安全距离，参见图4-2 , 显然"ch 1f x-26 — chj-0Fch丄—ch化细］2二0(4- 7)(4- 8)在档距中央，弧垂有最大值f，此时x=0或x1 = -，所以有2f TB -(ch2_-1] =2；「0sh2仁(4-9)施工中占和式（4-4）shrxshrxL是L X耳/226上式表明，在档距I 一定时，架空线的线长随比载和水平应力二0的变化而改变，即架空线的线长是其比载的应力的函数。

应该指出，式（4-10）计算得出的是按架空线的悬挂曲线几何形状的计算长度，与架空线的制造长度不尽相同。

四、等高悬点架空线的应力架空线上任一点C处的应力指的是该点的轴向应力，其方向同该点线轴方向，如图（a）所示。

轴向应力二％可视为水平应力二0和垂向应力二0的合成。

二0是架空线最低点处4-1 的应力，工程上常作为已知条件。

当架空线的比载也已知时，任一点的应力为/ ¥‘ rx + cr osh—I a0丿1 sh2 rX-o根据恒等变换cha =訥+sh% ，可得匚x =Sch2▽o(4-11) 在两等高悬挂点A、B处，有rlA =B = 0Ch2；「o(4-12) 如果用弧垂表示，则为二A *0 rf上式表明，等高悬点处架空线的应力等于其水平应力和作用在其上的比载与中央弧垂的乘积的和。

必须指出，悬挂点处的应力除按式（4- 12）计算的静态应力外，还有线夹的横向挤压应力，考虑刚度时的附加弯曲应力和振动时产生的附加动应力等。

第三节不等高悬点架空线的弧垂、线长和应力地形的起伏不平或杆塔高度的不同，将造成架空线悬挂高度不相等。

同一档距两悬挂点间的高度差简称为高差，两悬挂点连线与水平面的夹角称为高差角。

一、不等高悬点架空线的悬链线方程为应用方便起见，取坐标原点位于左侧悬挂点处，如图4-3所示。

在所选坐标系中，当x=a 时，d y /d x =°，代入式（4-4）求得G - -a ;当x=0时,式（4-5），有a =-arcsh 2 r经sh 」 r 2二0上式中反双曲线函数一项的分母，实际上就是式（ 4-10 ）表示的等高悬点架空线的档内悬链线长度，记为L h=e ，即相应地，弧垂最低点距右侧高悬挂点的水平距离为y=0，代入式（4-5）并注意到 G = -a ，求得C 2ch^a，将C1、C2之值再代回到-0[ch(X -a)-chra 2"sh -02"sh (x-2a) 2"(4- 13)上式即为不等高悬点架空线的悬链线方程, 但式中架空线最低点至左侧低悬挂点的水平距离a 待求。

将x= |时y= h 的边界条件代入式（4- 13），可以得到所以L h =026sh l26(4- 10/)arcshh Lh：(4- 14)图4-3不等高悬点架空线的悬链线18)= sh[-U arcsh —2；「0Lh z0上式代入式（4-13）,便可得到坐标原点位于左悬点时的不等高悬点架空线的悬链线方 程为"6门冒］当h =0时，即得到坐标原点位于左悬挂点时的等高悬点的架空线悬链线方程二、不等高悬点架空线的弧垂根据弧垂的定义，不等高悬点架空线任一点处的弧垂为等高悬点h =0时，有这与式（4-8）是一致的。

由于sh (x —2a )2cr o— arcsh2 r= sh[ x 2 一 32'- 0 '-0(4-15)心（x 」） 2^01 (L h)2丄h z02-‘o L h 卫L h =Q2- o1(, h Ah 导h =02、- 0经sh 丄［上chS2：。

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1心十(4-16)亠生S ”亠1(L h£2626 :L h 凶h）日说sh 葺］26%026(4- 17)h hx _y 26sh2Ssh (x —2a )26h x -—IL h £J 互込2%△ch4「1 J )2吾込 VL h出 Y 2%2Jh =0 26(4-x(h £)26吃S ”》架空输电线路最常用的是档距中央弧垂，最低点弧垂和最大弧垂(斜切点弧垂)与式(4- 19)比较，最大弧垂公式可表示为对于等高悬点架空线，有4(Ch 斗-1) ，在档距中央x=|/2，代入式(4-18)并化简后得到档距中央弧垂的计算式h 2b 0rl1 (厂—)2」(ch=- -1)L hq 2二0(4-19) 最低点弧垂出现在x=a处，代入任一点弧垂公式(4-18)并注意到式( 4-4),适当整理后得亠1<>h rl2二0 hzQ(4- 20) 同式(4-19)相比较，上式可写成[J harcsh L ,/ h、1(I )L(4- 20/)最大弧垂出现在並=0处,dxdf x dxd ,h(—x - y)dx ld r h 6 _ r(x - a) , ra[x (ch ch )]dx l r解得出现最大弧垂的位置匚0h l - 0h hX m =a arcsh (arcsh arcsh )r l 2 r l L hJ(4- 21) 从上式可以看出，不等高悬点架空线的最大弧垂不在档距中央。

由于L h^>l，所以X m>l / 2，说明最大弧垂位于档距中央稍偏向高悬挂点一侧的位置。

将式(4- 21)代入任点弧垂公式(4- 18)，可求得不等高悬点的最大弧垂为fm亠帥诙“心亡)1 (h )2ch rlL h=0 2% 1 (A】(4- 22)二[fghf-arcsh占-C1 (：1h =eh 21 C h )2)]Lh=0/(4- 22 )由于上式两个小括号内的值均为正值且均小,中央，弧垂，但二者非常接近。

前者略大于后者，所以最大弧垂大于档距26上式表明，等高悬点架空线的最大弧垂、档距中央弧垂和最低点弧垂三者重合， 位于档距中央，这是很明显的。

三、不等高悬点架空线的线长不等高悬点架空线的线长可利用弧长微分公式通过积分求得。

根据式（业=sh 丄(x CJ 二 sh 丄(x - a) dx所以dL = J 1 (?)2dx = ,'1 sh 2 r(x 一a)dx = ch r(x-a)dx架空线上任一点至左悬挂点间的线长为当x=l 时，即得到整档线长将x= |代入式（4-13），有将式（4-25 ）的平方减去上式的平方所以L =丄気h 2由上式可以看出，高差h 的存在，使得不等高悬点架空线的线长大于等高悬点时的线长。