ξ
1
0
1
P 0.1344 0.7312 0.1344
(2)由于齐次方程

ξ1 ξ3
x1 x1

ξ2 x2 ξ4 x2

0 0
只有零解的充要条件是系数行列式不为0, 等价于
P{ξ 0} 1 P{ξ 0} 1 0.7312 0.2688.
例6 设随机变量 ( X ,Y ) 服从 D {( x, y) y 0, x2 y2 1} 上的均匀分布, 定义
解 由题设知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
f
( x,
y)

2 π
,
(x, y) D,
0, ( x, y) D.
(U ,V ) 有6个可能取值 :
(0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
P {U 0,V 0} P() 0,
P {U 1,V 0} P() 0,
当 s 2 时, F(s) P{XY s} 1, 当 0 s 2 时,
F(s) P{S s} P{XY s} 1 P{XY s}
1 f ( x, y)d x d y 1 xy s
2
dx
s
11
s x
2
d
y
s (1 ln 2 ln s). 2
P{ξ2 1}P{ξ3 1} 0.16, P{η1 0} P{η2 0} 1 0.16 0.84.
随机变量 ξ η1 η2 有3个可能取值 1, 0, 1. P{ξ 1} P{η1 0,η2 1 } P{η1 0}P{η2 1}
二、典型例题
例1 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 2,0, 2, 5,相应的概率依次为 1 , 3 , 5 , 7 ,试求概率
a 2a 4a 8a P{ X 2 X 0}. [思路] 首先根据概率分布的性质求出常数 a 的 值, 然后确定概率分布的具体形式,最后再计算 条件概率.
解 利用概率分布律的性质 pi 1, i
从而
P{Xi 200}

f (x)d x
200

1
x
1
e 600 d x e 3 ,
200 600
i 1,2,3.
又 P{Xi 200} P( Ai ) p,
因此所求概率为
1 P( A1)P( A2 )P( A3 )

1
p3

1
(e
1 3
P {U 1,V 1} P{0 X Y , X 3Y }
P{0 X Y } f ( x, y)d x d y 0 x y
2 d x d y 1 .
π 0 x y
4
P {U 0,V 1} P{ X 0, X 3Y }
1 P j 120
1
2
3
Pi
0
21
35 56
120 120 120
14
42
0
56
120 120
120
7
0
120
0
8
120
21
63
35
1
120 120 120
(3) 因为 P{ X 0,Y 0} 0, P{ X 0}P{Y 0} 56 1 0,
120 120 所以 X 与 Y 不相互独立. (4) 在 X 0 的条件下,Y 的条件概率为 P{Y j X 0} P{ X 0,Y j}, j 0,1,2,3.
P{ X 0} 因此 Y 的条件分布律为
Y jX 0
2
3
3
5
P
8
8
例5 设 ξ1, ξ2 , ξ3 , ξ4独立同分布,且
P{ξi 0} 0.6, P{ξi 1} 0.4, i 1,2,3,4.
求 : (1) 行列式 ξ ξ1 ξ2 的概率分布; ξ3 ξ4
(2)
i j 3 i j 3 (i 0,1,2, j 0,1,2,3).
因此的 ( X ,Y ) 的分布律为
Y X
0
1
2
3
0
0
0
21 35
120 120
1
0
14
42
0
120 120
2
1
7
0
121 120
0
(2) X ,Y 的边缘分布律为
Y
X
0
00
10
1 2 120
随机变量U,V 如下
0, U 1,
X 0, 0,
0 X Y, V
X
3Y ,
2, X Y .
1, X 3Y .
求 (U ,V ) 的联合概率分布,并计算 P{UV 0}.
[思 路 ] 写出 (U ,V ) 的所有可能取值,并利用均匀分 布的特征计算其取值的概率.
1.解：f
(x)

Ae|x|


A A
ex e
,
x
x 0 ,由 ,x0

f
(x)dx
1得,
A

1. 2

F
(
x)


1 2
e
x, 1 1 Nhomakorabea2x ex ,
0, x
练习
1.已知随机变量 X 的概率密度为
f (x) Ae x , x . (1) 求系数 A;(2) 求 X 的分布函数 F (x); 2.现从1，2，3，4，5中任取四个数构成四位数， X表示数字重复的次数，求X的分布率.
3 测量某目标的距离时，误差X（m），且知 XN(20,1600),求三次测量中至少有一次误差绝 对值不超过30m的概率.
故 f (s) 12 (ln2 ln s), 0 s 2,
0,
其他.
练习：设随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度为
cxe y , f (x, y)
0,
(1) 求常数 c;
0 x y , 其他.
(2) X 与 Y 是否独立?为什么?
(3) 求 f X Y (x y), fY X ( y x);
第二章第三章 随机变量及其分布 习题课
一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算
二维随机变量的分布、边缘分布 有关概率的计算和随机变量的独立性
2.难点
一维连续型随机变量的概率密度函数的求法 条件概率分布 二维随机变量函数的分布
0.84 0.16 0.1344, P{ξ 1} P{η1 1,η2 0 }
P{η1 1 }P{η2 0} 0.16 0.84 0.1344, P{ξ 0} 1 P{ ξ 1} P{ ξ 1} 0.7312.
于是行列式 ξ 的分布律为
)3
1 e1.
例4 在10件产品中有2件一等品、7件二等品和一 件次品, 从10件产品中不放回地抽取3件,用 X 表 示其中的一等品数, Y 表示其中的二等品数. 求 :
(1) ( X ,Y ) 的联合分布律; (2) X ,Y 的边缘分布律; (3) X 和 Y 是否独立; (4) 在 X 0 的条件下, Y 的条件分布律.
[思路] 首先利用分布函数的性质求出常数 a, b, 再用已确定的分布函数来求分布律.
解 利用分布函数 F ( x) 的性质 :
P{ X xi } F ( xi ) F ( xi 0),
F () 1, 知 1 P{ X 2}
2 (a b) (2 a) 3 2a b 2 , 3
且 a b 1.
由此解得 a 1 , b 5 . 66
因此有
0,
1 ,
F
(
x
)


6 1
,
2
1,
从而 X 的分布律为
X 1
1
P
6
x 1, 1 x 1,
1 x 2, x 2.
12 11 32
例3 设某仪器上装有三只独立工作的同型号电子 元件,其寿命(单位 : 小时)都服从同一指数分布,其
P{X 0} 1 , 2
P {U 2,V 0} P{Y X , X 3Y }
P{ X 3Y } 1 , 6
P {U 2,V 1} P{Y X , X 3Y }
P{Y X 3Y } 1 . 12
所以 (U ,V ) 的联合概率分布为
方程组
ξ1 x1 ξ3 x1

ξ2 x2 ξ4 x2

0 0
只有零解的概率.
[思 路 ] 要求行列式 ξ 的分布律,先要将 ξ 的所有可
能值找到,然后利用独立性将取这些值的概率计算
出来 , 而第二问就是求系数行列式 ξ 0 的概率.
解 (1) 记 η1 ξ1ξ4 , η2 ξ2ξ3, 则 ξ ξ1ξ4 ξ2ξ3 η1 η2 , 由于 ξ1, ξ2 , ξ3 , ξ4相互独立,故η1,η2也相互独立, 且η1,η2都只能取 0, 1 两个值, 而 P{η1 1} P{η2 1} P{ξ2 1, ξ3 1}
解 由题设知 X 只能取 0, 1, 2, Y 只能取 0, 1, 2, 3. 当 i j 2 或 i j 3 时,有