若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为， f ( xk ) xk 1 xk n k 0,1, 2, f ( xk )
*
则 ( x ) 0 ，所以上述格式是平方收敛的。
优点
① ② ① ②
收敛速度快，稳定性好； 精度高。 在重根附近收敛速度会降阶； 每次都要计算函数及其导数值，计算量大。 主要缺陷！！
f ( x * ) 1 其中 K , q (1 5 ) 1.618. * 2 f (x ) 2
)2 0 (a 0) 的根
1 a
)
1 等价于求方程 f ( x ) a 2 0 (a 0) 的正根 解法二： x 1
f ( xk ) xk 1 xk xk f ( x k ) a
2 xk
1 2 xk (3 axk ) k 0,1, 2, 2
证明：牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代
f ( x) f 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) ，则 ( x) 1 f ( x ) f 2 ( x ) f ( x*) f ( x*) ( x*) 0 1 收敛 2 f ( x*)
(i)
(ii)
f ( x ) 0
x I;
f ( ) M , I ; 2 f ( )
(iii) d M 1
e k 1 ek
q
则对 x0 , x1 I ，由割线法产生的序列 xk 都收敛于x*，且

lim
k
K
q 1
收敛速度介于牛顿法 和 二分法 之间

xk 之间
x k 1
在单根附近收敛快！
只要 f ( x ) 0 ，则令 k 可得结论。
xk 1 x * f ( k ) 2 ( x * xk ) 2 f ( xk )
牛顿迭代法的改进
重根 Q1: 若 f ( x*) 0 ，牛顿迭代法是否仍收敛？
n f ( x ) ( x x ) q( x ) 且 q( x ) 0 。 设 x* 是 f 的 n 重根，则：
因为牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代，
f ( x) 其中 ( x ) x ，则 f ( x ) 1 f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 | ( x*) | 1 1 2 n f ( x*)
2 3 xk
2 f ( x ) 3 x

4、牛顿迭代法的局部收敛性定理 设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 f ( x ) 连 续，且 f ( x ) 0，则存在 x* 的邻域 B ( x*) [ x , x ]， 使得任取初值 x0 B ( x*)，由牛顿迭代法产生的序列 xk 以不 低于二阶的收敛速度收敛于x*，且 xk 1 x * f ( x*) lim 2 k ( x * x ) 2 f ( x*) k
第三节 牛顿迭代法与弦割法
1、牛顿法基本思想 将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。 2. 牛顿迭代法的原理 将非线性方程线性化，如何实现？？ 取 x0 x*，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开:
f ( ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2， 在 x0 和 x 之间 2! 取 x x* ，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
对 ( x) 构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为 ( x) f ( x) f ( x) ( x) x x ( x) [ f ( x)]2 f ( x) f ( x)
从而可构造出相应的迭代法格式为
f ( xk ) f ( xk ) xk 1 xk [ f ( xk )]2 f ( xk ) f ( xk )
方程
*
标即为 xk 1 。 y
( x0 , f ( x0 ))
x*
x2 x1
x0
x
例2.5：写出求 a (a 0) 的牛顿迭代格式；写出求
1
a 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无除法运算。
2 解： 等价于求方程 f ( x ) x a 0 (a 0) 的正根
(a 0)
其中 ( x ) x

由泰勒展开：
0 f ( x*) f ( x k ) f ( x k )( x * x k ) f ( k ) ( x * xk )2 2! * f ( xk ) f ( k ) 2 在 和 x k x* xk ( x * xk ) f ( xk ) 2! f ( xk )
f ( x ) 2 x
2 f ( xk ) xk a 1 a xk 1 xk xk ( xk ) k 0,1, 2, f ( xk ) 2 xk 2 xk
等价于求方程 f ( x ) ( x 解法一：
1
a 1 2 ( xk ) f ( xk ) a f ( x ) 2( x xk 1 xk xk 1 f ( x k ) 2( xk ) a 1 1 ( xk ) k 0,1, 2, 退化为二分法！！ 2 a
缺点
注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值 x0 选在解 x 的附 近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计出一个质 量较好的初值！！
*
第五节
弦割法
基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 f ，为了避免计算 导数值，现用 f 的差商近似代替微商 f ，从而得到弦割法。
割线
切线
收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。 x2 x1 x0
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
f ( x0 ) x* x0 f ( x0 )
y
x1
x1是如下线性方程的根！
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
( x0 , f ( x0 ))
x*
x2 x1
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。 令 ( x)
f ( x) ，则 f 的重根是 f ( x )

的单根，且
( x x* ) g ( x) ( x) mg ( x) ( x x* ) g ( x)
切线斜率

割线斜率

f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f ( xk )( xk xk 1 ) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 )
需要2个初值 x0 和 x1。
Th2.10 局部收敛性
[ x , x (x)在 I 中有足够阶连续导数， 且 满足
xk 1
x0
x
f ( xk ) xk f ( xk )
k 0,1, 2,
只要 f C1，每一步迭代都有 f ( xk ) 0 xk x 而且 lim ，则 x*就是 f 的根。 k
3. 牛顿迭代法的几何解释：
f ( x) 0的根 x 在几何上是曲线 y f ( x) 与 x 轴的交 * 点的横坐标。若 xk 是根 x 的一个近似，过曲线上横坐标为 xk y f ( x) 的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐 的点 P k 作曲线